Non è chiaro quando siano stati definiti i numeri primi diverse proposizioni a riguardo risalgono già agli antichi greci. La domanda che i matematici si pongono è: come si susseguono i numeri primi?
IN BREVE
Indice
Numeri primi: cosa sono e quanti sono
I numeri primi sono per definizione tutti i numeri interi maggiori di 1 che sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi.
Viene quindi da interrogarsi sulla natura del numero 1: è un primo oppure no?
La risposta a questa prima domanda è no, in quanto se ciò fosse vero costringerebbe i matematici a riscrivere il teorema fondamentale dell’aritmetica che afferma “per un numero esiste un’unica scomposizione in fattori primi”, quindi se 1 non fosse primo potremmo avere infinite scomposizioni per ogni numero, primo o no.
Inoltre viene da chiedersi: quanti sono i numeri primi? E come si susseguono?
I numeri primi sono infiniti, e la dimostrazione venne effettuata da Euclide stesso, mentre sulla loro successione, non si è ancora arrivati a capire a che distanza si trovi un numero primo da un altro, anche se, come vedremo più avanti, si è trovato un limite alla distanza massima.
Tabella numeri primi
Probabilmente vi starete chiedendo se è davvero utile avere una tabella dei numeri primi, la risposta è sicuramente si. Se si ha a che fare con numeri relativamente piccoli, ed è necessario sapere se sono primi o no, basta una rapida occhiata alla tavola per controllare le proprietà del numero. In secondo luogo una tavola dei numeri primi torna molto utile per la scomposizione in fattori primi. La scomposizione in fattori primi si basa sul concetto di dividere esattamente un numero per i numeri primi in ordine crescente, fino a che il resto della divisione non diventa 1. A quel punto si conoscono i fattori primi del numero. Chiaramente si può anche fare a meno di una tabella, almeno per numeri primi piccoli, conoscendo i cosiddetti criteri di divisibilità. I più semplici sono i criteri di divisibilità per 2,3 e 5, in cui affinché la divisione sia esatta è sufficiente che il numero sia rispettivamente pari, che la somma delle sue cifre sia multiplo di 3, che il numero termini per 5 o 0.
Come si distribuiscono i numeri primi?
Crivello di Eratostene
Il problema della successione di questi particolari numeri è noto fin dall’antichità. Già gli antichi Greci cercavano di scoprire il mistero che ammantasse la distribuzione dei numeri primi: infatti via via che si cresce di numero, i numeri primi diventano sempre più rari. Eratostene inventò un metodo per la ricerca dei numeri primi, che ovviamente risulta poi scomodo da usare quando si ha a che fare con numeri molto grandi: si tratta del crivello di Eratostene. Utilizzando il crivello di Eratostene è possibile infatti determinare tutti i numeri primi minori di un numero n. L’algoritmo si sviluppa in questo modo: si scrivono i numeri che si vogliono analizzare da 2 ad n in un elenco che rappresenta il setaccio (o crivello), dopodiché si cancellano tutti i numeri multipli del primo numero in esame (2), e si ripete la stessa operazione con i numeri successivi.
Nel corso dei secoli numerosi matematici si sono prodigati per risolvere il mistero della successione dei numeri primi, formulando diverse affermazione. Alcune tra le più famose sono la congettura dei primi gemelli e la congettura di Goldbach, tutti e due non ancora del tutto risolti.
Congettura dei primi gemelli
La congettura dei primi gemelli venne formulata per la prima volta da Euclide. Essa afferma che “esistono infiniti numeri primi primi p tali che anche p+2 sia un numero primo”, un’affermazione che trova diverse conferme basate sull’evidenza numerica (ad esempio 17 e 19). Nel corso degli anni sono stati fatti numerosi passi avanti, che hanno portato alla formulazione della cosìddetta congettura debole da parte del matematico de Polignac che afferma “per ogni numero naturale k esistono infinite coppie di numeri primi che differiscano di 2k”, affermazione che trova per k=1 la congettura originaria formulata da Euclide.
L’ultimo contributo è stato fornito da Yitang Zhang nel 2013, arrivando a dimostrare che “esistono infinite coppie di numeri primi che differiscono tra loro di un numero N inferiore a settanta milioni”.
Congettura di Goldbach
La congettura formulata da Goldbach afferma invece che “ogni numero intero maggiore di 7 può essere scritto come somma di tre numeri primi”, la quale è stata poi riformulata da Eulero come “ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi” e che prende il nome di congettura forte.
La congettura debole è stata dimostrata nel 2013 da Harald Andrés Helfgott con un documento di “sole” 133 pagine.
Legami con Fibonacci
I numeri primi sono anche stati correlati ad un’importante serie matematica, vale a dire la serie di Fibonacci. Leonardo Fibonacci formulò questa serie con l’intento di formulare una legge matematica che potesse descrivere in maniera semplice la crescita di una popolazione di conigli. La successione, che è rivolta solo ai numeri interi positivi, è strutturata così: Fn = Fn-1 + Fn-2 per ogni n>2, non a caso si pone F1 e F2 uguali a 1. Si è scoperto che al tendere di n ad infinito il rapporto Fn / Fn-1 tende al numero irrazionale φ che vale 1,61 o, più elegantemente, (1+√5)/2. φ viene anche definito come numero aureo o sezione aurea, che viene ritrovato frequentemente nelle arti e in natura.
Il legame con i numeri primi è presto detto: il numero Fn*m sarà divisibile per Fm e Fn e quindi non sarà primo, mentre se un altro numero Fa è primo, allora anche a è primo, l’unica eccezione è F4 = 3. Non è vero il contrario, cioè se un numero b non è primo, non è detto che Fb sia primo.
Narrativa contemporanea
Inoltre i numeri primi sono stati anche menzionati nella narrativa contemporanea, sia nel romanzo “la solitudine dei numeri primi” che nel romanzo “zio Petros e la congettura di Goldbach”.
Il primo è un romanzo di formazione, scritto da Paolo Giordano, narra delle vite di Alice e Mattia, e delle vicende che ne segnano l’infanzia e l’età adulta. I due protagonisti vengono appunto paragonati a a due numeri primi gemelli, così vicini, per le esperienze trascorse, eppure separati da un sottile ma invalicabile muro di solitudine.
Nel secondo libro invece, il protagonista Petros Papachristos scopre molto giovane di avere una grande predisposizione per la matematica e decide all’inizio della sua carriera universitaria di dimostrare la congettura di Goldbach per consegnare il proprio nome alla storia.