Problemi di matematica irrisolti e le soluzioni da un milione di dollari

E se vi dicessi che esistono ben sette problemi di matematica irrisolti e nessuno è ancora riuscito a venirne a capo? E che risolvere problemi del genere vale ben un milione di dollari?

Stiamo parlando dei problemi matematici chiamati “Problemi del millennio” posti all’attenzione dei matematici e fisici del mondo dal Clay Mathematics Institute, sulla falsariga di quelli posti dal matematico Hilbert durante una sua conferenza nel 1900. Centinaia di matematici studiano da anni come risolvere questi problemi di matematica, eppure solo uno di questi è stato risolto.

La risoluzione di questi problemi irrisolti ha profonde implicazioni economiche, dalla sicurezza bancaria alle transazioni che si possono effettuare sui più disparati siti online, fino ad arrivare alla soluzione di problemi tecnologici.

I problemi di matematica del millennio sono i seguenti:

1. L’ipotesi di Riemann, che riguarda la distribuzione dei numeri primi ed è uno dei più complessi;
2. La teoria di Yang-Mills, riguardante la rottura della simmetria all’inizio dell’universo;
3. Il problema P versus NP, ovvero cercare di capire se i problemi computazionali di classe P sono uguali a quelli della classe NP;
4. Le equazioni di Navier-Stokes, le quali descrivono il moto dei liquidi e dei gas;
5. La congettura di Poincaré, problema di tipo topologico risolto nel 2003 da Grigorij Jakovlevič Perel’man;
6. La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, se dimostrata migliorerebbe la nostra conoscenza dei numeri primi;
7. La congettura di Hodge, tratta come costruire oggetti matematici complessi a partire da oggetti più semplici anch’esso è un problema di tipo topologico.

Tra questi sette problemi di matematica ricordiamo quelli che potrebbero avere una particolare importanza applicativa. Ad esempio, una soluzione analitica delle equazioni di Navier-Stokes potrebbe essere utile negli studi di fluidodinamica. Questi studi hanno una grande varietà di campi di applicazione: dai problemi della diffusione di sostanze inquinanti allo studio dei motori. Si potrebbero anche studiare le correnti di traffico o le vie di fuga.

L’ipotesi di Riemmann, che riguarda la distribuzione dei numeri primi, se venisse risolta porterebbe a profonde ripercussioni sia nella matematica pura, sia nelle applicazioni di crittologia (disciplina che studia le scritture nascoste).

Altro ancora è il problema delle classi P e NP; esso è uno dei più interessanti perché cerca di capire se i problemi risolvibili della classe P sono risolvibili anche per la classe NP. In generale, questo problema riguarda quei problemi di calcolo che ammettono una risposta binaria (ad esempio sì o no). Un problema che si trova nella classe P può essere risolto efficacemente con un normale computer. Essi sono rappresentati da tutti quei problemi di decisione che possono essere risolti con una macchina di Turing deterministica in un tempo che è polinomiale rispetto alla lunghezza dei dati di input. I problemi NP, invece, non sono risolvibili tramite semplici calcoli del computer, piuttosto richiedono una grossa mole di calcolo di difficile risoluzione. Sono rappresentati da tutti quei problemi di decisione che possono essere risolti con una macchina di Turing non deterministica. L’intero problema si riassume quindi con una semplice domanda: i problemi della classe P sono uguali a quelli della classe NP? Fino ad ora, purtroppo, gli studiosi ancora non sono riusciti a dare una risposta adeguata a questa domanda.

Passiamo ora all’unico dei sette problemi di matemtica che è effettivamente stato risolto fino ad ora, ovvero la Congettura di Poincaré. Essa afferma che la sfera è l’unica superficie semplicemente connessa anche se la si porta ad n-dimensioni con n≥0. Ebbene, anche se da questa descrizione il problema può sembrare molto complicato, non lo è stato per il matematico russo Grigorij Perel’man. Infatti, dopo quasi un secolo, il matematico ha portato due ricercatori (Xiping e Huaidong) alla sua soluzione. Sembra però che il matematico abbia rifiutato sia il premio da 1.000.000 di dollari sia la Medaglia Fields. I premi di solito vengono assegnati dal Clay Mathematics Institute e dall’International Mathematical Union. Il matematico ha dichiarato: “Il denaro e la fama non mi interessano. Non voglio essere mostrato pubblicamente, come un animale in uno zoo.”

Dopo 17 anni dall’annuncio del Clay Mathematics Institute, solo uno dei sette problemi irrisolti è stato risolto. Questo ci fa pensare che dovremo aspettare ancora molti anni affinché tutti e sette i quesiti scientifici trovino una risoluzione.
Inoltre, i sette problemi di matematica irrisolti sono il tema centrale di un interessante libro scritto dal matematico Keith Devlin. Esso si intitola “I problemi del Millennio: I sette enigmi matematici irrisolti del nostro tempo”.