Teorema di Lagrange, dalla teoria matematica alle applicazioni fisiche

Il Teorema di Lagrange è un ben noto teorema dell’analisi matematica formulato nella seconda metà del XVIII secolo che recita: “Sia f una funzione definita in [a,b] ivi continua e derivabile in ]a;b[, allora esiste almeno un punto c appartenente a tale intervallo tale che \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a)}\)

In termini pratici il  Teorema del Valor Medio garantisce che ci sia almeno un punto in cui la funzione assuma il valore medio valutato su tutto l’intervallo [a;b]. I corollari che nascono come conseguenza naturale del teorema di Lagrange risultano particolarmente utili nello studio di funzione.

La dimostrazione di tale teorema fa uso di una funzione ausiliaria  \(g(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)  che risulta essere continua in quanto costituita esclusivamente da funzioni continue. La differenza tra la funzione principale e quella ausiliaria risulta essere nulla negli estremi \(h(a)=f(a)-g(a) = 0\) e \(h(b) = f(b)-g(b) =0\) e di conseguenza sfruttando il Teorema di Rolle risulta esistere un punto c tale che \(h’(c) = f’(c)-g’(c)=0\) il che comporta \(f’(c) = g’(c)\) e calcolando la derivata di g, risulta \(f’(c) = g’(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Inoltre il Teorema di Lagrange può essere visto come una generalizzazione del teorema di Rolle, nel caso in cui \(f(a) = f(b)\). In questo caso ]\(f(b) – f(a)\) sarà uguale a 0 e pertanto anche \(f'(c)\) sarà uguale a 0, proprio come nel teorema di Rolle.

Il teorema presenta alcuni corollari, ad esempio nel caso in cui la derivata sia nulla in tutto l’intervallo [a;b], in questo caso la funzione in esame è costante in tutto l’intervallo [a;b].

La dimostrazione è, in sostanza, semplice: presi due punti α e β, appartenenti all’intervallo [a;b], si può applicare il Teorema di Lagrange all’intervallo [α;β], il quale sarà scritto nella forma \(f’(c)= 0\) (per ipotesi). Da qui si deduce che il termine \(f(\beta)-f(\alpha)\) è uguale a 0 ed, essendo β ed α due punti qualsiasi dell’intervallo [a;b], \(f(\beta)-f(\alpha)\) sarà uguale a 0 per ogni coppia di punti appartenenti ad [a;b] ed il corollario risulta così dimostrato.

Un altro corollario del teorema del valor medio è il riconoscimento della monotonia di una funzione (sempre in un intervallo[a;b]) a partire dalla derivata. Anche in questo caso la dimostrazione è tutto sommato semplice, e prende sempre in considerazione presi due punti α e β, appartenenti all’intervallo [a;b], a cui viene applicato il teorema di Lagrange.  L’applicazione ci restituirà ovviamente l’espressione . Per ipotesi risulta α<β, quindi il termine β-α sarà sicuramente positivo, a questo punto noto il segno della derivata sarà semplice dedurre il segno del termine \(f(\beta)-f(\alpha)\). Ad esempio se \(f’(c)\) è positiva, per forza di cose risulta \(f(\beta)>f(\alpha)\). Essendo α e β due punti scelti a piacere, appartenenti all’intervallo [a;b], il corollario risulta verificato per tutto l’intervallo [a;b] e, nel caso del nostro esempio, la funzione risulta monotona crescente.

Un’applicazione alla vita pratica di tale teorema la si può ritrovare nei sistemi di controllo elettronico della velocità conosciuti come safety tutor. In questo caso la funzione da prendere in esame è lo spazio percorso ovvero lo spazio in funzione del tempo quindi s(t). Gli estremi a e b saranno gli istanti in cui il sistema di sicurezza rileva il passaggio dell’auto e la loro differenza sarà, logicamente, il tempo impiegato a percorrere l’intero tratto. Per definizione la derivata della funzione s(t), rappresenta la velocità istantanea, nel nostro caso la velocità del veicolo. A questo punto la differenza \(s(b)-s(a)\) è una differenza costante qualunque sia la legge oraria del veicolo, mentre la differenza b-a è variabile e per le osservazioni fatte prima il rapporto  ovvero la velocità istantanea all’istante c. Se tale valore sarà superiore al limite di velocità, allora il veicolo, in ossequio al Teorema di Lagrange, avrà infranto il limite di velocità almeno in un istante.

In sostanza, il Teorema di Lagrange può trovare applicazione ovunque sia presente una derivata, ad esempio si può considerare la variazione della funzione lavoro nel tempo (L(t)) e calcolare la potenza media erogata, poiché per definizione la potenza è la derivata temporale del lavoro.