La densità viene definita come il rapporto tra la massa di un corpo e il suo volume, tuttavia il suo valore non è fisso e varia principalmente con la temperatura. Analizziamo in che modo avviene questa variazione.
IN BREVE
La densità è per definizione il rapporto fra la massa ed il volume di un corpo, tuttavia questa definizione non è rigorosa, in quanto presuppone che il corpo in esame sia un corpo omogeneo, e quindi la densità sia uguale in ogni punto. Per una definizione più rigorosa è più corretto ricorrere ai differenziali ed esprimere la densità come rapporto dm/dV.
L’unità di misura attraverso la quale viene espressa la densità nel SI è, come è facile supporre, \(\frac{kg}{m^3}\), mentre nel sistema CGS viene espressa in \(\frac{g}{cm^3}\) o, analogamente, in \(\frac{g}{mL}\).
Come è facile intuire, la densità è una proprietà intensiva (cioè non dipende dalla quantità di campione presa in esame) di qualunque materiale. Sfortunatamente, per quanto ogni materiale ne abbia un proprio valore, questo dipende dalla temperatura per quanto riguarda solidi e liquidi, mentre per quanto riguarda i gas dipende anche dalla pressione.
Tecnicamente quanto detto sopra non è proprio rigoroso, la pressione incide sul volume di un liquido o di un solido (non elastico), ma in maniera trascurabile per i nostri scopi.
Infatti la variazione percentuale di volume \(\frac{\Delta V}{V}\) è data da \(\frac{-1}{\beta \Delta p}\), dove β viene definito come il modulo di compressibilità isoterma e dipende dal materiale e dalla temperatura. β può essere scritto in funzione del modulo di Young e del coefficiente di Poisson attraverso l’equazione \(\beta=\frac{E}{3(1-2ν)}\). Dove E rappresenta il modulo di Young e v rappresenta il coefficiente di Poisson.
Questo deve essere però messo in relazione con la variazione infinitesima di densità, per cui, derivando si ottiene \(d\rho= -m\frac{dV}{V^2}\) poiché la massa del sistema è costante. Dividendo membro a membro per la densità, e sostituendo ρ al secondo membro si ottiene: \(\frac{d\rho}{\rho}=-\frac{dV}{V}\), ma questo termine è uguale a \(\frac{1}{\beta\Delta p}\). Per i solidi ed i liquidi β ha un valore che si aggira intorno a 1010 (più alto per i solidi che per i liquidi), di conseguenza per avere una variazione di volume apprezzabile (>1%) è necessario che Δp sia circa 109 Pa, vale a dire qualcosa come 10000 volte la pressione atmosferica, qualcosa di davvero complesso da realizzare, perfino in ambito industriale.
Analizziamo ora il caso in cui la variazione di volume dipende dalla temperatura. La temperatura agisce direttamente sul volume del corpo aumentandolo, per cui il rapporto m/V diminuisce a causa dell’aumento di V. Di conseguenza fissata una temperatura di riferimento e noto il volume del corpo, il rapporto può essere scritto come \(\frac{m}{V_0 + kV_0 \Delta T}\). Dove V0 è il volume iniziale del corpo, k è il coefficiente di dilatazione cubica e ΔT la variazione di temperatura.
I liquidi nonostante mostrino una comprimibilità maggiore rispetto ai solidi, danno comunque una variazione trascurabile di volume per intervalli ampi di pressioni, per cui possiamo considerarli anch’essi incomprimibili. Di conseguenza anche in questo caso il rapporto m/V dipenderà solo dalla temperatura secondo l’equazione \(\frac{m}{V_0 + kV_0 \Delta T}\).
Il discorso per i gas è differente, poiché la pressione agisce in maniera molto più diretta sul volume. L’espansione può essere condotta sia attraverso una trasformazione isobara, che attraverso una trasformazione isoterma. Per semplicità ci riferiremo soltanto a gas ideali, ma con i dovuti accorgimenti il ragionamento si può estendere tranquillamente anche ai gas reali. In caso di trasformazione isoterma il prodotto PV (dove P si misura in atmosfere e V si misura in litri) rimane costante, quindi una variazione di pressione per un gas, anche di poche decine di atmosfere per un gas, comporta una variazione di volume ben più importante di una variazione di svariate decine di atmosfere per un solido/liquido.
Analogamente in caso di una trasformazione isobara, il rapporto V/T è costante, per cui un aumento di temperatura comporta un aumento di volume. In formule, nel caso della trasformazione isoterma si ha \(V_f = \frac{ V_i P_i}{P_f}\) e per una trasformazione isobara \( V_f = \frac{V_i T_f}{T_i}\).
Tuttavia è possibile che da uno stato iniziale (P1 e T1), varino contemporaneamente pressione e volume fino al valore P2 e T2. Come possiamo calcolare il valore V2? Per una mole di gas ideale (e quindi per qualsivoglia numero di moli), il termine PV/T è costante, per cui il volume finale sarà uguale a \(V_f = \frac{P_i V_i T_f}{P_f T_i}\). Tornando al nostro argomento principale, la densità, nota la massa di gas in esame, è semplice calcolarne la variazione noti i valori di pressione e temperatura, iniziale e finale. Volendo infatti non è necessario conoscere il volume iniziale, ma basta conoscere la densità iniziale e, semplicemente sostituendo V con m/ρ e riarrangiando per ρf è possibile calcolare la variazione di densità.
Parlando di densità è quasi d’obbligo introdurre una grandezza strettamente correlata con essa, vale a dire il peso specifico, indicato con γ che non è altro che il prodotto ρg, ovvero densità per accelerazione di gravità. Il termine ρg viene incontrato sovente nella fisica, in particolare nella fluidodinamica con il teorema di Bernoulli e la legge di Stevino. Essendo la densità all’interno dell’equazione per il calcolo del peso specifico, è necessario specificare a quale temperatura viene calcolato. L’unità di misura del peso specifico è N/m3.
Abbiamo visto che la densità di un qualunque corpo diminuisce con l’aumentare della temperatura a causa dell’aumento di volume del corpo stesso. Anche l’acqua, segue in linea generale questo andamento, tuttavia fa eccezione nell’intervallo di temperatura che va da 0°C a 4 °C in cui la sua densità aumenta con la temperatura.
Il motivo di questo fenomeno, conosciuto come anomalia dell’acqua è da ricercare nella struttura che l’acqua assume a livello molecolare. Durante il processo di fusione del ghiaccio, vengono rotti soltanto alcuni legami a idrogeno rispetto a quelli presenti nella struttura cristallina. Questo consente alle molecole d’acqua di impacchettarsi meglio. Durante il processo di riscaldamento da 0 a 4 °C (per la precisione 3,98 °C) vengono rotti ulteriori legami a idrogeno, permettendo un impacchettamento ancora migliore delle molecole. A temperatura superiore non si ottengono ulteriori vantaggi.
A questo punto potrebbe sorgere spontanea la domanda “qual è la densità dell’aria?”. Possiamo rispondere alla domanda con un semplice, quanto efficace, ragionamento: abbiamo già visto che la densità di un gas dipende anche dalla pressione a cui è sottoposto, di conseguenza ci porremo alla pressione di 1 atm, ponendoci con buona approssimazione in una condizione reale. Per quanto riguarda la temperatura, sceglieremo 25 °C, ponendoci nelle cosìddette condizioni standard e rispecchiando anche in questo caso una situazione reale. Ora, è possibile applicare con buona approssimazione l’equazione dei gas reali, in quanto ci troviamo ad una temperatura ben al di sopra della temperatura critica dei vari gas presenti nella miscela. Scegliendo come volume di riferimento un litro e utilizzando i dati di P= 1 atm e T= 298,16 K, è possibile calcolare il numero di moli totali presenti in un litro d’aria. Successivamente, approssimando l’aria ad una miscela di azoto ed ossigeno, è possibile calcolare la massa della miscela, e da qui calcolare il rapporto m/V che risulterà pari a 1,177 g/L, un numero molto prossimo al valore reale della densità dell’aria alla temperatura di 25°C e pressione di 1 atm.
Fonte
- Fisica 1: Meccanica e Termodinamica – V. Silvestrini, C. Mencuccini – Casa Editrice Ambrosiana
- Chimica generale, principi ed applicazioni moderne – R. H. Petrucci, F. G. Herring, J. D. Madura, C. Bissonnette – Piccin