Massa della Terra: qual è e com’è stata calcolata?

I pianeti del sistema solare in ordine di distanza dal Sole sono: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano e Nettuno. Tutti gli esseri viventi che conosciamo, fino ad oggi, sono ospitati sul terzo di questi, ma conosciamo bene il nostro pianeta?  La massa della Terra è minuscola se la si confronta con la massa del Sole che vale 1.989 · 10³⁰ kg, invece la massa della Luna  è 7.342 · 10²² kg. La cosa sorprendente è che non si è dovuto aspettare l’età contemporanea per riuscire a determinare la massa Terra, ma già alla fine del 1700 gli scienziati erano in grado di calcolarla. Oggi sappiamo che il suo valore è di 5.972 · 10²⁴ kg, ma come hanno fatto con i mezzi tecnologici di due secoli fa a giungere a questo risultato?

La procedura di calcolo che ha portato alla determinazione del valore di massa del nostro pianeta è composta da varie fasi. In diversi secoli le conoscenze matematiche e fisiche si sono accumulate come tanti pezzi di un puzzle. Il calcolo della massa della Terra, quindi, non rappresenta solo un valore utile per considerazioni astronomiche, ma è anche la manifestazione di come la scienza si sia evoluta nel tempo.

Differenza tra massa e peso

Prima di comprendere i procedimenti di misura della massa della Terra, bisogna chiarire i concetti di massa di un corpo e peso di un corpo. La massa è la grandezza che esprime una quantità di materia, la cui unità di misura del Sistema Internazionale è il chilogrammo (kg). Il peso invece è un valore di forza e la sua unità di misura è il newton (N), in onore allo scienziato che ha introdotto il concetto di forza. Isaac Newton ha formulò la nota legge:

\( F = m a \);

dove m è la massa e a è l’accelerazione. Se al valore di accelerazione si sostituisce lo specifico valore di accelerazione gravitazionale g, che sulla terra vale 9.81 m/s², per tutti i corpi di massa m si ottiene un corrispettivo valore di forza peso. Per uomo di massa 70 kg il valore del suo peso è quasi 700 N. Il peso che si attribuisce ad un copro dipende quindi dal valore dell’accelerazione di gravità specifica del pianeta su cui si effettua la misura, mentre il valore di massa rimane costante. Ad esempio lo stesso uomo di 70 kg sulla Luna peserebbe circa 113 N, perché l’accelerazione gravitazionale della Luna è 1/6 di quella della Terra.

Isaac Newton e la legge di gravitazione universale

Nel 1687 fu pubblicata per la prima volta “I principi matematici della filosofia naturale” il trattato in cui Newton enunciò le leggi della dinamica e la teoria della gravitazione universale. La dinamica è lo studio del moto considerando anche le sue cause, mentre la cinematica si occupa di studiare il moto a prescindere di cosa lo provoca. Allo scopo di terminare la massa della Terra e di qualsiasi pianeta si è rivelato più utile considerare la teoria di gravitazione universale. Infatti non si può calcolare la massa di un pianeta mediante il solo secondo principio della dinamica: F = m a, da cui si otterrebbe la massa m = F/a. È difficile stabilire cosa sia quella forza F che compare nella formula quando si parla di un pianeta e anche l’accelerazione di gravità di un pianeta rispetto a se stesso non si può stabilire.

Negli anni 20 del 1600 , prima della teoria della gravitazione, Keplero aveva già proposto una descrizione cinematica del moto, senza appunto trovarne le cause, formulando le omonime tre leggi:

• Prima legge: i pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al Sole che occupa uno dei fuochi.
• Seconda legge: la velocità areale con cui il raggio vettore che unisce il Sole all’orbita descritta dal pianeta è costante.
• Terza legge: il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse:

\( T^2= k r^3\)

Dalla base di queste leggi Newton considerò le orbite ellittiche molto prossime a quelle circolari. La velocità areolare è la velocità con cui viene “spazzata” dal raggio una stessa porzione di area, si può immaginare come un spicchio dell’orbita del pianeta che viene percorsa dal raggio sempre con stessa velocità. Essendo questa velocità costante il pianeta non può che muoversi di moto circolare uniforme: cioè si muove con la stessa velocità lungo tutto il percorso dell’orbita. Lo scienziato inglese dedusse che su un pianeta in orbita doveva agire una forza soltanto di tipo centripeta, senza componente tangenziale. Una forza centripeta è una forza che attrae il corpo sempre verso il centro della circonferenza. Da queste considerazioni e dalle leggi di Keplero, Newton formulò la legge di gravitazione universale:

\( F =G \frac{ m_1 m_2}{r^2} \)

La formula esprime il valore della forza di attrazione che si genera tra due pianeti o corpi di massa \(m_1\) e \(m_2\), che dipende dalla costante di gravitazione G e dalla distanza tra i due pianeti r .

Per calcolare la massa della Terra era quindi necessario prendere in esame la massa di un corpo, il raggio della Terra e conoscere il valore della costante G. Gli scienziati del tempo dovevano ringraziare Eratostene che misurò il raggio della Terra già nel lontano II secolo a.c. circa. Nel 1687 però non era stata ancora calcolata la costante di gravitazione universale, quindi la formula di Newton non permise allo scienziato di calcolare la massa della Terra.

Come aveva fatto Eratostene a calcolare il raggio della Terra?

Oggi misurare il raggio della Terra sarebbe ben più facile grazie alle sonde spaziali, purtroppo Eratostene di Cirene non disponeva di una navicella, ma non era un problema per il suo genio. Il matematico era a conoscenza che nella città dove oggi sorge Assuan in Egitto (un tempo si chiamava Syene) il giorno del del solstizio d’estate a mezzogiorno i raggi del sole illuminava il fondo dei pozzi. Ciò voleva dire che i raggi del sole erano perpendicolari alla Terra, come se il sole si trovasse sullo zenit, cioè è il punto immaginario che sta esattamente sopra la testa dell’osservatore. In quella città un bastone piantato in verticale non avrebbe proiettato umbra sul suolo. Secondo Eratostene la città di Alessandria si trovava sullo stesso meridiano di Syene ma più a nord e gli edifici proiettavano un ombra. Queste considerazioni si basavano sul concetto di Terra sferica, non del tutto banale a quei tempi.

Eratostene piantò lo steso bastone, detto anche gnomone, ad Alessandria per misurare l’angolo di inclinazione dei raggi solari mediante la loro ombra, lo stesso giorno in cui a Syene i raggi cadevano perpendicolarmente.  Trovò un valore di 7.2° che equivale a 1/50 dell’angolo giro che misura 360°. Ne dedusse che la circonferenza della Terra doveva essere 50 volte la distanza tra Syene ed Alessandra.

Poiché la distanza tra le due città era di 5 000 stadi (l’unità di misure della lunghezza dell’epoca) Eratostene impostò tale relazione:

\( x : 5000 stadi = 360^\circ : 7^\circ \)

Il valore di lunghezza x trovato risultava 257 142 stadi, dato che uno stadio vale 157.5 m, allora la misura della circonferenza della Terra calcolata fu di 40 500 km. Un valore molto vicino a quello ottenuto da calcoli moderni che la stabiliscono lunga 40 075 km, dal quale si può calcolare il raggio medio che misura circa 6 372 km.

L’esperimento di Cavendish per la determinazione di G

Mark Cavendish era uno scienziato scozzese che riprese il lavoro del geologo John Michell che morì senza riuscire a portare a termine l’esperimento per misurare la costante di gravitazione. Cavendish costruì una bilancia di torsione composta da: un’asta di legno lunga 1.8 m tenuta sospesa da un filo, due sferette di piombo attaccate ad ogni estremità. Altre due sfere di piombo più grandi erano situate vicino a quelle più piccole ed erano tenute in posizione da un sistema indipendente a quello delle sferette piccole.

Lo scopo dell’esperimento era misurare la debole attrazione instauratasi tra le sfere piccole e quelle grandi. Questa forza attrattiva non era altro che la forza gravitazionale delle masse in questione. Le due sfere grandi erano posizionate sui lati opposti del braccio della bilancia messo in orizzontale. La successiva attrazione delle sfere piccole faceva ruotare il braccio, provocando anche la torsione del filo che lo sosteneva. Quando veniva raggiunto un angolo tale per cui la forza di torsione del filo era bilanciata dalla forza di attrazione tra le sfere, allora il braccio smetteva di ruotare. Cavendish misurò l’angolo dell’asta e conoscendo il momento di torsione del filo per l’angolo specifico determinò la forza di richiamo e riuscì a determinare la forza tra le masse.

Il braccio subì una piccola rotazione, non visibile all’occhio umano ma possibile da calcolare mediante uno specchio posto sul filo in torsione. La posizione del raggio riflesso prima e dopo la torsione forniva il dato sullo spostamento e quindi sull’angolo. Tuttavia l’esperimento richiedeva una precisione e una sensibilità strumentale non semplici da ottenere praticamente. Lo scienziato prese molti accorgimenti per ottimizzare lo strumento ed effettuando numerose misure per ridurre l’errore giunse ad un risultato di 6.74 · 10^–11 N m² / kg², con un errore inferiore all’1%.

Come si calcola la massa della Terra?

Una volta trovato il valore della costante G è stato possibile, già nel 1800, poter calcolare la densità e la massa della Terra utilizzando la formula della gravitazione universale di Newton. Considerando un corpo sulla superficie del pianeta Terra si pone l’uguaglianza tra la seconda legge dinamica e la legge sulla gravitazione e si ricava la massa della Terra:

\( m g = G \frac{M_t m}{R^2} \)

\( M_t = \frac{g R^2}{G} \)

Nell’equazione: R è il raggio della Terra, g è l’accelerazione di gravità e G è la costante di gravitazione universale. Il valore di massa è strettamente legato alla costante G e ancora oggi si registrano piccole differenze nella sua misurazione. Anche se l’esperimento di Cavendish è stato ripetuto numerose volte e rimane un procedimento molto valido. In tempi moderni la comunità scientifica ha proposto diversi test alternativi, come la bilancia di torsione a basse frequenze basata sul principio della massa mancante. A meno di piccole variazioni, comunque significative, tutti gli esperimenti convengono ad un valore di G pari a 6.67 · 10^–11 N m² / kg² . Da questo valore di costante universale si ricava una misura della massa della Terra che vale 5.972 · 10²⁴ kg .

Il problema per la formula della massa

L’equazione precedente si risolve semplificando il valore della massa m del corpo di prova tra la parte sinistra dell’equazione che esprime la massa inerziale e la destra che esprime la massa gravitazionale. A priori non c’è nessun motivo per cui questi due valori di massa debbano coincidere. La massa gravitazionale potrebbe non essere uguale alla  massa inerziale che compare nella legge di Newton: F = m a. Il rapporto tra queste masse, seppure costante, potrebbe non essere uno. L’esperimento di Cavendish è valido solo nell’approssimazione che la massa inerziale di un corpo coincida con la sua massa gravitazionale.

Senza questa approssimazione anche il calcolo della massa della Terra non sarebbe lo stesso. Per fortuna nella seconda metà dell’ottocento il fisico ungherese Eötvös condusse numerosi esperimenti pratici per valutare il rapporto tra massa inerziale e gravitazionale. L’eguaglianza tra le due masse fu trovata entro valori di 10^-6 e con le misure moderne si è arrivati fino a valori di 10^-12 .