Effetto Venturi: ciò che non ti aspetti dalla fluidodinamica

La dinamica dei fluidi è una disciplina della fisica che si occupa di studiare le proprietà meccaniche dei fluidi: sostanze gassose o liquide che hanno la caratteristica di assumere la forma del recipiente che li contiene. Lo studio del moto dei fluidi e del moto dei copri nei fluidi è molto importante anche per la vita di tutti i giorni. Tutto sulla terra avviene all’interno di un fluido: dalla dinamica degli aerei al galleggiamento delle navi, dall’effetto di una palla da calcio alla doccia di casa. I liquidi hanno un volume ben definito e una superficie che li delimita, mentre i gas non hanno volume proprio e tendono ad occupare tutto lo spazio a disposizione. Oltre a questa differenza, prima di analizzare il loro moto e quindi scoprire cosa sia l’effetto venturi,  va ricordato che i liquidi sono incompressibili, i gas invece sono facilmente compressibili e hanno densità minore rispetto ai liquidi. Ci sono, però, molte leggi empiriche e matematiche che descrivono alcune proprietà comuni ad entrambi gli stati della materia, come: pressione, portata e velocità. La teoria descritta dall’effetto Venturi spiega, appunto, come cambiano queste proprietà per un fluido in movimento.

Che cos’è la pressione?

Se si vuole applicare una forza ad un fluido non si può parlare di uno specifico punto di applicazione della sua massa, ma per ciascun elemento di massa dm si considerano forze di volume proporzionali al volume dV e forze di superficie proporzionali a dS. La notazione appena usata: dm, dV e dS, sta ad indicare rispettivamente un massa infinitesima, un volume infinitesimo e una superficie infinitesima, ovvero quantità molto piccole. Un esempio di forze di volume è la forza peso:

\(  dF = g dm = g \rho dV  \) ,

nell’ultimo passaggio si è usata la nozione di densità ρ. Per le forze di superficie vale la relazione:

\( dF = p dS  \) ,

che esprime il valore della forza come prodotto tra pressione e superficie. E tramite la formula inversa si ricava:

\( p = \frac{dF}{dS} \)

oppure per variazioni finite: \( p = \frac{F}{S} \)

L’unità di misura della pressione nel Sistema Internazionale è il Pascal (Pa), che risulta essere il rapporto tra la forza (Newton) perpendicolare alla superficie e la superficie stessa (m²). Una particolare proprietà della pressione è la non direzionalità, ovvero che il suo valore su un elemento di fluido non dipende dalla direzione.

Tutti i fluidi possono essere soggetti a pressioni esterne, come quella atmosferica che vale circa 1,01 x 10^5 Pascal, e a loro volta conservano un loro valore di pressione interna che dipende da molti fattori come la quantità di molecole e, come vedremo, la velocità del fluido. Ogni cambiamento della pressione esterna causa una perturbazione della pressione anche nel fluido, questo fenomeno è noto come principio di Pascal.

Equilibrio di una massa fluida

Un fluido in quiete si trova nella condizione di equilibro statico, cioè quando tutti gli elementi del fluido hanno accelerazione e velocità nulla in un sistema di riferimento inerziale. In queste circostanze la risultante delle forze di volume e di pressione è pari a zero: \( F_p + F_v = 0 \).

Se non vi sono forze di volume che agiscono sul fluido, la densità del fluido rimane costante in tutto il suo volume. L’equazione matematica che esprime questa relazione è la seguente:

\( \nabla p = \rho f \).

Il simbolo \( \nabla p  \) è il gradiente della pressione, ovvero il vettore che ha per componenti le derivate parziali della pressione nelle tre coordinate xyz. La formula esprime il valore del gradiente di pressione come il prodotto tra densità e l’accelerazione di volume. Quando il valore della derivata si annulla, quindi è nullo il prodotto tra densità e accelerazione di volume, allora vuol dire che la pressione è costante. Questa è la spiegazione rigorosa, ma con parole più semplici cosa significa? Vuol dire che la pressione nel fluido è costante in particolar modo in due casi:

• se la densità ρ è pari a zero
• se non agiscono forze di volume

In un liquido la densità non è mai zero, mentre nei gas ha un valore molto piccolo e quasi trascurabile per piccoli volumi, ad esempio per l’atmosfera terrestre la pressione cambia molto a secondo dell’altezza.

Anche la condizione di assenza di forze di volume è difficile da realizzare. Come già detto una particolare forza di volume è la forza peso: come cambiano, in questo caso, equilibrio e pressione di un fluido? Per semplicità immaginate di avere un liquido in un contenitore su cui agisce la forza peso. La legge che determina il valore della pressione a seconda della profondità è la legge di Stevino:

\( p(h) = p_0 + \rho g h \).

Questa relazione mostra che la pressione cresce linearmente con la profondità, se ovviamente si considera la densità costante. In cui \( p_0  \) è la pressione esterna che ad esempio per un recipiente aperto sul nostro balcone coincide con il valore della pressione atmosferica:  1.01 x 10^5 .

Da queste prime considerazioni sull’equilibrio e sulla pressione si possono spiegare tutti i fenomeni più comuni della dinamica dei fluidi.

• Vasi comunicanti: in due o più recipienti in comunicazione tra loro, riempiti con lo stesso liquido e soggetti alla stessa pressione esterna, il liquido raggiunge lo stesso livello dal suolo.
• Paradosso idrostatico: la forza esercitata sul fondo di recipienti aperti contenenti lo steso liquido e con stessa area di base, ma con diverse forme, è uguale per tutti questi contenitori.
• Manometro a U: lo strumento che sfrutta il principio dei vasi comunicanti per calcolare una pressione ignota. Mediante lo studio della differenza di altezza nei due bracci del tubo si può calcolare una delle due pressioni esercitata su uno dei due bracci: \( h = \frac{p_1-p_2}{\rho g} \).
• Principio di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una spiata verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato,

\( F_A = – \rho V_0 g \).

Dal teorema di  Bernoulli all’effetto Venturi

Per descrivere al meglio il moto di un fluido non si può non discutere anche del fattore velocità. L’effetto Venturi scoperto dal fisico italiano Giovanni Battista Venturi, a cavallo tra 1700 e 1800, esprime la relazione che lega velocità e pressione di un fluido che scorre all’interno di un condotto: la pressione diminuisce con l’aumentare della velocità. Questo è il concetto da tenere ben fisso nella mente per comprendere l’effetto venturi di cui spesso si sente parlare. Qual’è la spiegazione scientifica a questo fenomeno? È il teorema di Bernoulli esprimibile mediante la relazione matematica:

\( p + \frac{1}{2} \rho v^2 +\rho g z = costante \).

A parole: in un fluido in moto con regime stazionario la somma della pressione (\( p \)), densità di energia cinetica per unità di volume (\( \frac{1}{2} \rho v^2  \)) e della densità di energia potenziale per unità di volume (\( \rho g z  \)), è costante lungo tutto il condotto.

Quindi prendiamo un caso più semplice di un condotto orizzontale, il cui risultato si estende anche per condotti inclinati o in verticale. In questa condizione il liquido non cambia quota durante il tragitto (z = 0), quindi il teorema di Bernoulli diventa:

\( p + \frac{1}{2} \rho v^2 = costante \).

Ora è più evidente che, con densità costante, se la velocità aumenta la pressione deve diminuire per mantenere la somma costante. La formula di Bernoulli va oltre la relazione qualitativa dell’effetto Venturi, riuscendo a quantificare i coefficienti di variazione tra velocità e pressione. Notare come se, nella formula di Bernoulli, si pone invece della quota la velocità pari a zero (v= 0), si ritrova la legge di Stevino.

L’effetto venturi, quindi la relazione tra velocità e pressione, spiega anche perché il vento forte riesce a togliere il tetto alle case. Il vento che soffia ad alta velocità provoca un abbassamento della pressione sopra il tetto delle case, a quel punto la pressione all’interno diventa maggiore e il tetto riceve una forza dal basso verso l’alto.

Bisogna fare attenzione, però, ai termini di validità della formula di Bernoulli: come è espresso dal teorema il fluido deve essere in condizione di moto stazionario.

Che cos’è il moto stazionario?

Prendiamo in considerazione un fluido in moto in un tubo o condotto, per poter scrivere delle relazioni sulle sue proprietà meccanica si possono adottare due descrizioni differenti.

La prima è detta lagrangiana: si pone l’attenzione su un solo elemento di fluido e ne si segue il percorso lungo tutto il tubo. Ciò vuol dire prendere in considerazione tutte le forze attimo per attimo e trovarne la risultate.

La seconda descrizione è quella euleriana: si prende in esame un punto fisso della massa fluida e si considerano le grandezze fisiche degli elementi di fluido che passano per quel punto. Praticamente è come restare fermi a guardare un punto aspettando che il liquido scorra in esso. Ad esempio prendendo un punto P di coordinate \( P(x, y, z)\), un elemento di fluido che passa per il punto P nell’istante t ha velocità \( v(x, y, z, t)\). La velocità cambia da punto a punto e può essere diversa anche nel punto stesso a seconda dell’istante che si considera.

Il regime stazionario è la condizione particolare della visione euleriana in cui la velocità, pur cambiando da punto a punto, è indipendente dal tempo in ciascuno di essi. Quindi se nel primo secondo nel punto \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) il fluido ha velocità \(v_1\), anche dopo 10 secondi nel punto \( P_1(x_1, y_1, z_1)\) il fluido ha velocità \(v_1\), ma può avere un valore diverso nel punto \( P_2(x_2, y_2, z_2)\) . Nel caso non si verifichi questa condizione allora si parla di regime variabile.

Linee di corrente e portata

Il vantaggio di adottare la descrizione euleriana è proprio quella di potersi mettere in condizione di regime stazionario e quindi di immaginarsi delle linee che rappresentano le traiettorie degli elementi di fluido all’interno del condotto. Queste linee vengono dette linee di corrente e in regime stazionario sono costanti nel tempo. L’insieme di tante linee di corrente forma un cosiddetto tubo di flusso che appunto rappresenta il flusso del fluido.

Se si parla di flusso allora viene in mente la quantità di volume del fluido che scorre, attraverso una sezione del tubo. Questa quantità definisce un’altra grandezza: la portata del tubo di flusso. La formula matematica per la portata è:

\( q =\int_{S} v dS = v_m S \),

cioè il prodotto tra velocità media e la superficie della sezione considerata.

Già Leonardo da Vinci aveva capito empiricamente che la portata è costante lungo il condotto: se diminuisce la superficie, cioè il tubo si restringe, allora la velocità del fluido aumenta. La relazione della portata vale per i fluidi incomprimibili come i liquidi, ma anche per i gas che non abbiano velocità superiore a 100 m/s.

Il fatto che la portata resti costante è sfruttata dai phon che usiamo per asciugarci i capelli. Mettendo il beccuccio sulla sua punta la sezione del tubo diminuisce e quindi la velocità del getto d’aria aumenta, in questo modo i nostri capelli sono colpiti da un getto d’aria a velocità maggiore.

Applicazioni dell’effetto Venturi

La dipendenza che lega la pressione alla velocità è la chiave esplicativa di molti fenomeni e strumenti utili, tra cui:

1. Tubo di Venturi
2. Minigonna delle auto
3. Paradosso idrodinamico
4. Bruciatori a gas

Il tubo di Venturi è un condotto orizzontale che stringe e allarga il suo spessore, cioè cambia la sezione. Questo strumento è usato per misurare la velocità o la portata di un fluido. Basta combinare la relazione:

\( p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 =  p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \)

con:  \( v_1 S_1 = v_2 S_2 \), che si ottiene dalla formula della portata costante.

Dove con i pedici 1 e 2 si indicano il valore delle grandezze nelle regioni a sezione maggiore e minore nella strozzatura del tubo. Da queste formule si può ricavare ad esempio la velocità di uscita dal condotto:

\( v_2 = \frac{2(p_1-p_2)}{\rho} \frac{S_1^2}{S_1^2 – S_2^2}\).

La cosiddetta minigonna delle auto è una componente non solo estetica ma anche aerodinamica che si può aggiungere all’automobile. Di cosa si tratta? In poche parole sono delle lastre sottili di carrozzeria che diminuiscono il divario tra asfalto e automobile, per questo il termine “minigonna”. L’effetto che tale aggiunta apporta è quello di migliorare la tenuta di strada dell’automobile, infatti, come abbiamo appreso, l’aria che si incanala in un condotto aumenta la sua velocità e diminuisce la pressione. L’aria che scorre di moto relativo sotto l’automobile viene perciò incanalata meglio dalla minigonna e diminuisce di conseguenza la sua pressione. Una pressione inferiore sotto l’auto e maggiore sopra, questa dovuta alla pressione atmosferica, fa sì che l’auto si schiacci al suolo e non il contrario. Possiamo pensarlo come il contrario della portanza che fa volare un aereo.

Il paradosso idrodinamico è quello che forse conferisce più fama all’effetto Venturi, poiché ciò che accade va contro il normale intuito. Quando attraverso un condotto si soffia dell’aria e all’estremità libera del condotto si pone un dischetto, quest’ultimo tende a chiudere il tubo invece che essere allontanato. Questo perché immediatamente all’esterno del condotto il fluido frena fino a non avere velocità e i termini della relazione di Bernoulli diventano:

\( p + \frac{1}{2} \rho v^2 = p_{atm} \).

Dove nel primo membro le grandezze si riferiscono al fluido ancora nel condotto, mentre il secondo è la parte esterna dove agisce solo la pressione atmosferica. Dall’equazione si deduce che deve essere: \( p  < p_{atm} \). Quindi si genera una forza che spinge il dischetto dalla zona a pressione maggiore (esterno) a quella minore (interno). Ovviamente questo risultato diventa rilevante a velocità elevate come è mostrato in questo video dell’università di Padova:

Un’altra applicazione è quella dei bruciatori a gas in cui si mette in moto una quantità di gas all’interno di un condotto orizzontale stretto a cui viene collegato, attraverso un altro tubicino, un recipiente con aria oppure con un buco da cui entra direttamente. La velocità del gas fa sì che la pressione nel condotto nel quale scorre diminuisca rispetto a quella esterna dell’aria. A quel punto l’aria è spinta verso la pressione minore e mischiandosi a poco a poco con il gas viene rilasciata come una miscela gas e aria. Un processo simile a questo è usato per gli aspiratori ad acqua o da alcuni erogatori di benzina che si bloccano quando il serbatoio di un’auto è pieno.

Esistono ancora molti altri esempi che sfruttano le differenze di pressioni provocate da cambiamenti di velocità, come il volo degli aerei o l’effetto “a giro” nel gioco del calcio, e sono diffusi nella vita di tutti i giorni, tuttavia questi fenomeni fanno parte della categoria dei movimenti di copri all’interno di fluidi.