Legge di Planck: le fondamenta della meccanica quantistica

Alla fine del diciannovesimo secolo i fisici non erano in grado di spiegare perché lo spettro osservato della radiazione di corpo nero divergeva significativamente ad alte frequenze da quello predetto dalle teorie esistenti. Nel 1900 Max Planck derivò intuitivamente una formula per descrivere il comportamento dello spettro osservato. Ipotizzò che un oscillatore caricato elettricamente in una cavità contenente radiazione di corpo nero potesse cambiare la propria energia solo di un minimo incremento E, proporzionale alla frequenza dell’onda elettromagnetica associata. Ciò risolse il problema della catastrofe ultravioletta predetta dalla fisica classica. Fu un’intuizione fondamentale per la fisica moderna e pose le basi della teoria dei quanti e della meccanica quantistica.

La legge di Planck

Ogni corpo emette spontaneamente e continuativamente radiazioni elettromagnetiche. La radianza spettrale di un corpo descrive la quantità di energia che esso emette a diverse frequenze. Essa è la misura della potenza emessa per unità di superficie, per unità di angolo solido di emissione, per unità di frequenza. Nell’immagine viene mostrata la formula di Planck per determinare la radianza spettrale di un corpo in funzione di temperatura, lunghezza d’onda, velocità della luce, costante di Planck e costante di Boltzmann.

Dalla costante di Planck e dalla frequenza v (inverso della lunghezza d’onda) si ottiene la dimensione E di un quanto di energia:

\( E=h \nu \) ;

esso, associato al singolo fotone, rappresenta un singolo pacchetto dell’energia trasmessa da una radiazione elettromagnetica, che può essere solo un multiplo di E. La formula dimostra come l’energia emessa a lunghezze d’onda più corte cresce maggiormente con la temperatura rispetto all’energia emessa a lunghezze d’onda maggiori. A basse frequenze la legge di Planck tende alla legge di Rayleigh Jeans, mentre ad alte frequenze (ossia piccole lunghezze d’onda) essa tende alla legge di Wien. Max Planck sviluppò la legge nel 1900 solo con costanti determinate empiricamente. Poi dimostrò che esprimere la radianza come una distribuzione di energia, come fatto nella sua legge, è l’unico modo stabile di esprimere la distribuzione della radiazione in equilibrio termodinamico.

La radiazione di corpo nero

Un corpo nero è un oggetto ideale che assorbe ed emette radiazioni ad ogni frequenza. In equilibrio termodinamico, la radiazione emessa è descritta bene dalla legge di Planck per via della sua dipendenza dalla temperatura. La radiazione di Planck è proporzionale alla radiazione termica, infatti più è alta la temperatura di un corpo più radiazioni emette ad ogni lunghezza d’onda. La radiazione di Planck ha intensità massima a una lunghezza d’onda che dipende dalla temperatura. Per esempio, a temperatura ambiente, un corpo emette radiazioni termiche soprattutto infrarosse e invisibili. A temperature più alte le radiazioni infrarosse aumentano e vengono percepite sotto forma di calore; inoltre vengono emesse radiazioni più visibili, infatti il corpo inizia a splendere di rosso. A temperature elevatissime il corpo diventa giallo o bianco e emette radiazioni a basse lunghezze d’onda, incluse onde ultraviolette e raggi x. La temperatura della superficie del Sole è di circa 6000 Kelvin; essa emette radiazioni sia ultraviolette che infrarosse, ma il suo picco di emissione è nello spettro visibile.

La radiazione di Planck è la più grande che un corpo in equilibrio termico possa emettere dalla superficie. La distribuzione di energia di Planck è l’unica possibile per un gas di fotoni; in questi gas la radianza spettrale, la pressione e la densità di energia all’equilibrio termico dipendono solo dalla temperatura. Invece nei cosiddetti gas materiali le suddette proprietà dipendono anche da massa e numero di particelle. Se un gas non si comporta come previsto da Planck, la seconda legge della termodinamica garantisce che le interazioni tra fotoni e altre particelle subatomiche o con altri fotoni generano un cambio nella distribuzione di energia, affinché essa diventi come predetto nella legge di Planck.

Fisica della legge di Planck

La legge di Planck descrive l’unica e caratteristica distribuzione spettrale per le radiazioni elettromagnetiche in equilibrio termodinamico, senza flussi di materia o energia. La sua fisica può essere compresa considerando la radiazione in una cavità con pareti rigide opache. Il movimento delle pareti può influenzare la radiazione. Se le pareti non sono opache l’equilibrio termodinamico non è isolato. Nel raggiungimento dell’equilibrio termodinamico la fisica classica avrebbe portato, attraverso il teorema di equipartizione dell’energia, alla catastrofe ultravioletta: l’intensità della radiazione di un corpo nero sarebbe stata predetta come infinita. Ciò avveniva perché si pensava che l’energia emessa da un corpo fosse indipendente dalla frequenza; dato che la frequenza può arrivare all’infinito, per la fisica classica anche l’energia irradiabile da un corpo può. Forzando l’assunzione che l’intensità della radiazione è finita, la termodinamica classica fornisce approssimazioni di alcuni aspetti della legge di Planck, come la legge di Stefan Boltzmann o la legge di Wien. In presenza di materia la meccanica quantistica fornisce una buona approssimazione. In assenza di materia è necessaria la teoria quantistica dei campi. Essa introduce una relazione fra energia e frequenza e dimostra che particelle identiche vibranti a diverse frequenze hanno una minima energia emissibile differente. Un altro paradosso della fisica classica risolto dalla legge di Planck è il collasso degli elettroni nel nucleo. Per la relatività generale la massa si converte in energia; una parte di essa viene emessa come onde luminose e calore, la stessa per ogni frequenza delle radiazioni di emissione. Ciò comporterebbe una perdita di energia graduale da parte della materia, e quindi una tendenza degli elettroni a collassare nel nucleo; questo ovviamente non accade nella realtà, dato che la gradualità dell’energia irradiata in funzione della frequenza di emissione permette la stabilizzazione degli elettroni.