Simboli matematici: la loro storia e il loro significato

I primi simboli matematici ad essere stati ideati furono i simboli per la rappresentazioni dei numeri e per molto tempo rimasero gli unici simboli matematici ideati dall’uomo.

Questo è da attribuire non solo al bisogno iniziale di avere una rappresentazione dei numeri per poter fare matematica, ma anche dall’utilizzo meramente pratico che la matematica assume nelle prime civiltà, come quella babilonese e quella egizia. Queste due civiltà furono le prime a creare dei sistemi numerici, ovvero metodi di esprimere e rappresentare numeri attraverso degli insiemi di simboli.

Sistemi numerici

In qualsiasi sistema numerico, alcuni simboli (parole o segni) denotano numeri specifici, chiamati numeri nodali, mentre gli altri numeri sono ottenuti da determinate operazioni dei numeri nodali. I sistemi numerici variano nella loro scelta dei numeri nodali e nei loro metodi algoritmici di formare numeri .
Ad esempio, gli antichi Babilonesi usavano 1, 10 e 60 come numeri nodali; i Maori, invece , usavano 1, 11, 121(=11*11) e 1331(=11*11*11). Nel sistema numerico romano i numeri nodali sono 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 e rappresentati rispettivamente dai segni I, V, X, L, C, D, M.

Lo stesso sistema numerico romano è un esempio di sistema additivo ,ovvero un sistema in cui i numeri sono formati raggruppando insieme numeri nodali.

Per esempio :

II=1+1=2

IV=5-1=4

VI=5+1=6

XL=50-10=40.

In alcuni sistemi numerici, chiamati sistemi alfabetici, i numeri sono rappresentati dagli stessi simboli delle lettere, più altri segni, ad esempio trattini. Un esempio è quello degli antichi greci dove i numeri da 1 a 9, così come tutte le decine e centinaia, erano denotati da sequenze di lettere del loro alfabeto, combinati con trattini.

I sistemi numerici possono essere:

• Posizionali, ovvero la posizione di ogni simbolo utile per rappresentare un numero ha un valore diverso secondo la sua posizione;
• Non posizionali altrimenti.

Per esempio, il sistema numerico romano non è posizionale.

Sistema numerico babilonese

Qualsiasi numero nel sistema numerico babilonese potrebbe essere scritto come una combinazione di due segni: un cuneo verticale e un cuneo grandangolare. Questi segni si formarono in gruppi da uno a nove nel caso dei cunei verticali, e da uno a cinque nel caso dei cunei grandangolari. Il cuneo verticale potrebbe rappresentare 10 e il prodotto di 10 e qualsiasi potenza del numero 60.

Dal momento che il sistema babilonese non aveva il nostro zero, non c’era alcuna garanzia che la notazione di un numero potesse essere letta in un solo modo. Il significato esatto della notazione potrebbe normalmente essere stabilito dal contesto. Questo tipo di sistema numerico è quindi chiamato un sistema posizionale non assoluto.

Sistemi di numerazione posizionali

Tutti i sistemi di numeri posizionali noti sono sistemi moltiplicativi additivi. Il principio posizionale della notazione dei numeri in questi sistemi è spiegato dal seguente teorema della teoria dei numeri:

Sia q0=1 e siano q1, q2,q3…qn numeri naturali maggiori di 1. Allora, l’equazione, dove b è un qualsiasi numero naturale ,:
\(\)\[
a_0q_0+a_1q_1+a_2q_1q_2+…+a_nq_1q_2…q_n=b
\]\(\)
ammette come soluzione un unico set ordinato di n+1 numeri naturali a0,a1,a2,a3…an che dipende dalla scelta di b. I numeri di questo set hanno la proprietà che:
\(\)\[
0<=a_i<q_{i+1}
\]\(\)

\(\)\[ i=0,1,2,…,n \]\(\)
Questo è chiaro nel caso del nostro sistema decimale posizionale. In questo caso le q sono tutte uguali a 10 e la condizione ci dice che, per esempio:
\(\)\[
12045=5+4*10+0*10^2+2*10^3+1*10^4
\]\(\)
Il teorema ci assicura che questo tipo di rappresentazione di 12045, che è sostanzialmente quella che usiamo, è unica e non ha ambiguità come nel sistema babilonese. L’introduzione dello zero si mostra così come molto utile.

Storia dei simboli matematici dall’Antica Grecia al XVI secolo

Solo nella civiltà greca iniziano a comparire simboli matematici astratti, ovvero simboli che rappresentano quantità generiche, con valori qualsiasi. Queste quantità di solito erano lati, aree, volumi ed angoli. Ciò è dovuto allo sviluppo che la geometria ha presso i greci che porterà nel III secolo a.C. a Euclide e alla sua formulazione assiomatico-deduttiva della geometria.

Questo ultimo approccio di generalizzare e di basare la geometria su postulati e assiomi da dimostrare è in contrasto con l’interesse pratico per la matematica e  il principio di autorità presso le civiltà antiche. Negli Elementi di Euclide (III secolo a.C.), le quantità astratte sono indicate da due lettere, le lettere iniziali e finali del segmento corrispondente e talvolta da una lettera. Questa modalità di notazione sarà la base per i calcoli letterali.Nonostante ciò, nella matematica dell’antichità classica nessuna operazione è mai stata effettuata con lettere.

La creazione di molti simboli algebrici moderni risale al XIV-XV secolo ed è stata condizionata dai risultati ottenuti nell’aritmetica pratica e dallo studio delle equazioni in tale periodo. Alla fine del XV secolo matematici tedeschi introducevano i moderni + e – per l’addizione e la sottrazione.

La curiosa storia di simboli matematici nel Rinascimento e nel XVI secolo

L’attuale simbolo √ di radice quadrata ha avuto una storia “avventurosa”. Per primo il filosofo latino Boezio  (vissuto tra il 480 d.C. e il 524 d.C.) chiamò tale operazione “radix” (radice) a voler indicare da quale lato il quadrato (il radicando) trae le sue “radici”. Questo portò Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, e Luca Pacioli ad usare per la radice quadrata il simbolo di R.

Il simbolo R rimase il simbolo più usato sino al 1690, quando iniziò a diffondersi il simbolo attuale di √ nella forma introdotta nel 1525 dal matematico tedesco C. Rudolff, ovvero senza barretta orizzontale. L’introduzione della barretta superiore orizzontale risale alla “Geometrie” di Cartesio (1637) .

Lo stesso Cartesio diede alla notazione algebrica il suo aspetto moderno, denotando le incognite con le ultime lettere dell’alfabeto x, y, z e le quantità arbitrarie con le prime lettere a, b, c e ideando la notazione moderna per le potenze.

Il XVI secolo e l’inizio del XVII secolo videro la prima apparizione e l’uso  delle parentesi:

•  quadre (Bombelli, 1550),
•  tonde ( Tartaglia, 1556)
•  graffe (Viète, 1593).

Lo stesso Viète introdusse l’uso di lettere maiuscole dell’alfabeto latino per indicare sia quantità costanti arbitrarie che incognite. Ciò ha reso possibile per la prima volta la scrittura di equazioni algebriche con coefficienti arbitrari e di operare con esse. Questo ha permesso materialmente di trattare in forme generali questi problemi.

Simboli matematici dal XVI secolo ad oggi

I segni < (minore) e > (maggiore) comparvero per la prima volta nell’opera “Artis analiticae praxis” (1631) del matematico e astronomo inglese T. Harriot. Nel 1655  J. Wallis propose per primo il simbolo dell’ infinito. Il numero π (il pi greco) era inizialmente considerato come il rapporto O/D dove O denota il perimetro e d il diametro di una circonferenza.

Nel 1652 W. Oughtred usò la notazione π/δ dove π e δ sono le lettere iniziali delle parole greche che indicano, rispettivamente, il perimetro e il diametro del cerchio. Infine, nel 1706 W. Jones utilizzò semplicemente il simbolo π per individuare tale rapporto: con lo stesso significato il simbolo π verrà usato da J. Bernoulli  e successivamente da Eulero nella sua “Introductio in analysin infinitorum” .

Eulero ideò molti simboli matematici odierni. Introdusse il primo simbolo generalmente accettato per un’operazione variabile, il simbolo della funzione:
y=f(x)
dove f deriva dal latino “functio”.

Dopo Eulero, i simboli per molte funzioni individuali (in particolare le funzioni trigonometriche) divennero standard. Ideò le notazioni di sin per il seno, cos per il coseno e di tan per la tangente.
Il simbolo i per indicare √-1 è un’altra notazione usata per la prima volta da Eulero nel 1777 . La lettera e, per indicare la base dei logaritmi naturali , apparve per la prima volta in un’opera stampata nella “Meccanica” di Eulero pubblicata nel 1736, opera nella quale la dinamica newtoniana veniva esposta per la prima volta in forma analitica.

Il creatore della notazione moderna per il calcolo differenziale e integrale fu Leibniz. In particolare, è stato lui a inventare i moderni differenziali dx e dy , la derivata prima scritta come dy/dx e l’integrale:
\(\)\[\int y(x)\, dx \]\(\)

Simboli matematici nel XIX secolo

Durante il XIX secolo, il ruolo della notazione divenne ancora più importante; in questo periodo si aprono nuovi campi della matematica, perciò servono linguaggi nuovi, quindi  simboli matematici nuovi.

Alcuni simboli moderni ampiamente utilizzati sono apparsi solo in quel momento: il valore assoluto | |( Weierstrass, 1841), il vettore v generico scritto come n-upla (a1, a2, a3 …) di numeri  ( Cayley, 1841). Molte delle nuove teorie del XIX secolo, come il calcolo tensoriale, non avrebbero potuto essere sviluppate senza una notazione adeguata.

Un fenomeno caratteristico è stato anche l’aumento  di simboli che denotano le relazioni. Per esempio il simbolo di congruenza (Gauss, 1801):
\(\)\[\cong\]\(\)

Un’altra interessante fonte di simboli matematici è stata la teoria della cardinalità degli insiemi. La cardinalità dell’insieme dei numeri naturali è indicata con l’aleph, la prima lettera dell’alfabeto ebraico:

\(\)\[\aleph_0\]\(\)

Dopo il XIX secolo non vi sono state notevoli invenzioni di simboli matematici. Questo probabilmente perché non vi sono stati finora periodi molto prolifici come l’Ottocento, sia per la notevole gamma di simboli ideati che possono essere “riciclati”.