Modello preda-predatore: matematica in ecologia

LA PREDAZIONE

La predazione è un’interazione biologica in cui un organismo vivente, il predatore, usa come fonte di sostentamento un organismo di una specie differente, la preda. Il concetto di predazione è piuttosto vasto e comprende un’ampia varietà di metodi di alimentazione.

Classificazione

Vi sono diversi modi per classificare i predatori: funzionale e per livelli trofici. Con la classificazione funzionale, che si basa sulle modalità di interazione tra predatori e prede e sulle modalità di accesso alle risorse nutritive, si distinguono 4 gruppi di predatori:

• predatori veri, organismi che uccidono la preda con lo scopo di cibarsene. Questi esseri viventi possono attaccare la preda oppure camuffarsi e attendere che la preda sia nelle loro vicinanze. Rientrano in questa categoria i felini oppure i rettili;
• pascolatori, coloro che si nutrono di prede vegetali oppure di organismi sessili marini. Rientrano in questo gruppo gli animali da allevamento;
• parassiti, organismi che vivono a spese di un altro individuo danneggiandolo, senza procurargli una morte immediata. Un esempio di parassiti sono le pulci o i funghi;
• parassitoidi, organismi che vivono nel loro ospite e traggono nutrimento da lui e lo portano lentamente alla morte. Fa parte di questo gruppo la vespa icneumone, che depone le uova all’interno di un organismo di un’altra specie e, una volta schiuse, le larve si nutrono degli organi interni dell’ospitante.

La classificazione per livelli trofici si basa sul concetto di catena alimentare. Le più importanti tipologie di catene alimentari sono quelle dei predatori, dei parassiti e dei saprofiti. Alla base della catena alimentare dei predatori vi sono gli organismi produttori, che traggono il loro sostentamento dalle sostanze inorganiche o dall’energia solare. Essi sono fonte nutritiva per gli erbivori, i consumatori primari, che a loro volta diventano preda per i carnivori, consumatori secondari. Questa gerarchia raramente riesce ad arrivare fino al quinto o sesto livello, poiché l’apporto di energia necessario per il sostentamento dei livelli successivi diminuisce di volta in volta. Tuttavia, se un predatore venisse tolto dal suo ecosistema e posto in un altro, potrebbe perdere la sua posizione predominante e diventare a sua volta una preda; per lo stesso discorso anche una preda potrebbe diventare predatore se posto in un ambiente diverso.

Adattamento e comportamento

Nel corso del tempo alcuni predatori hanno maturato un alto grado di specializzazione nei confronti di una determinata preda o di più classi di prede, sviluppando sia delle strategie per rilevare, catturare e uccidere le prede, infatti molti hanno udito, olfatto e vista ben sviluppati; sia delle tecniche di mimetizzazione o camuffamento per rendere la loro caccia più efficiente. Allo stesso modo le prede hanno sviluppato delle tecniche anti-predatorie per preservare la loro vita. La predazione porta molto spesso a vantaggi evolutivi nella specie predata che si trova a dover mettere a punto delle tecniche per sopravvivere all’attacco dei predatori. Esempi di questo adattamento sono: il camuffamento, meccanismo grazie al quale gli animali riescono a nascondersi nell’ambiente; il mimetismo, tecnica con cui gli organismi tentano di somigliare ad altre specie; l’aposematismo, caratteristica colorazione sgargiante, propria della specie animale di solito tossica o velenosa, che consente all’individuo di essere facilmente riconoscibile dai predatori e ha la funzione di allontanarli, ricordandogli i possibili pericoli che corrono qualora volessero utilizzarlo come nutrimento (a proposito, conosci le capacità di mimetismo della mantide orchidea? Scoprile nel nostro articolo mantide orchidea: regina del mimetismo).

DINAMICA DI POPOLAZIONE

In natura si viene a creare un equilibrio tra prede e predatori: quando il numero di individui della popolazione delle prede è basso, i predatori, non riuscendo più a nutrirsi, caleranno di numero; quando invece il numero di prede è elevato, anche i predatori saranno numerosi. In assenza di predatori, le prede potrebbero crescere in modo esponenziale fino a quando il loro numero non si avvicina alla capacità portante dell’ambiente. Il ruolo dei predatori è quindi quello di limitare la crescita delle prede, sia nutrendosi di esse, sia modificando il loro comportamento. Quindi le densità di popolazione dei predatori e delle prede subiscono delle fluttuazioni nel tempo. Questo meccanismo favorisce la selezione naturale eliminando gli individui più deboli e sviluppando individui sempre più competitivi e abili.

MODELLO PREDA-PREDATORE

Le dinamiche di popolazione in cui interagiscono due sole specie di animali possono essere studiate mediante il modello matematico di Lotka–Volterra, un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine. L’idea alla base del modello è quella di considerare una situazione ideale in cui coesistano solamente due popolazioni, una di predatori \(y(t)\)e una di prede \(x(t)\):
$$ \begin{cases}
\frac{dx}{dt}= Ax-Bxy\\
\frac{dy}{dt}= Cxy-Dy
\end{cases}
$$
Come si può notare dal sistema, le prede hanno un tasso di accrescimento proporzionale alla popolazione (\(+Ax\)) e un tasso di decrescita proporzionale al numero di incontri con i predatori (\(-Bxy\)). I predatori dipendono dalle prede, in questo modo il loro tasso di accrescimento è proporzionale al numero di incontri con le prede    (\( Cxy \)), mentre la mortalità naturali dei predatori (in assenza di prede) è proporzionale alla popolazione stessa (\(-Dy \)).

Punti di equilibrio

Le equazioni di Lotka-Volterra presentano dei punti di equilibrio nei quali le popolazioni delle due specie rimangono costanti nel tempo, ovvero quando \(x(t)=x_0\) e \(y(t)=y_0\); in questo modo le derivate rispetto al tempo saranno nulle, quindi, sostituendo si ottiene:
$$ \begin{cases}
0= Ax_0-Bx_0y_0\\
0 = Cx_0y_0-Dy_0
\end{cases}
$$
Risolvendo le equazioni del modello preda-predatore si trovano due punti di equilibrio: \((x_0,y_0)=(0,0)\) e \((x_0,y_0)=(D/C;A/B)\). Il primo punto di equilibrio corrisponde alla situazione in cui ambedue le specie sono estinte; il secondo invece corrisponde a una situazione specifica, ovvero quando il numero delle prede catturate equivale al numero delle nascite e la competizione per il cibo è stabile. Il primo punto di equilibrio è instabile, ciò significa che l’estinzione di entrambe le specie è molto difficile, il secondo è invece stabile. Quindi, nelle situazioni di non equilibrio i predatori prosperano in abbondanza di prede ma, dopo tempo, il cibo comincia a scarseggiare e quindi la popolazione comincia a estinguersi; mentre la popolazione dei predatori decresce, quella delle prede aumenta di nuovo e questo processo si ripete ciclicamente.