Identità di Eulero: l’equazione più bella della matematica

L’IDENTITÀ DI EULERO

L’identità di Eulero, o equazione di Eulero, in matematica è la seguente uguaglianza:
$$ e^{i\pi}+1=0$$
dove:

• Il numero \( 1 \) è l’elemento neutro della moltiplicazione (per ogni \( a, a \cdot 1= 1 \cdot a= a \));
• Il numero \( 0 \) è l’elemento neutro dell’addizione (per ogni \( a, a+0=0+a=a \));
• \(e \) è il numero di Nepero e la base del logaritmo naturale;
• \( i \) è l’unità immaginaria, il numero complesso tale che \( i^2 = -1 \). L’introduzione di questa unità, grazie al teorema fondamentale dell’algebra, rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti.
• \( \pi \) è il pi greco, il risultato del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L’equazione, contrariamente a quanto si pensi, non compare nel primo trattato di Eulero sul calcolo infinitesimale Introductio in analysin infinitorum; tuttavia non è noto chi per primo abbia scritto di questa relazione anche se la formula di Eulero era conosciuta già nel Settecento. L’identità è stata dimostrata in maniera indipendente e con procedimenti diversi da Roger Cotes e Abraham de Moivre. Nel 1990, da un sondaggio condotto da The Mathematical Intelligencer, l’identità di Eulero è stata definita “il più bel teorema della matematica”.

INTERPRETAZIONI DELL’IDENTITÀ DI EULERO

Di questa identità possono essere fornite sia una interpretazione algebrica, sia una geometrica. Entrambe le interpretazioni partono dalla formula di Eulero, una formula nel campo dell’analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa, di cui l’identità di Eulero è un caso particolare.

Interpretazione algebrica

L’identità di Eulero afferma che \( e^{i\pi} =-1 \). L’espressione \( e^{i\pi} \) è un caso particolare di \( e^z \), dove \( z \) è un numero complesso. In generale la funzione esponenziale è definita come
$$ e^z= \lim_{n \rightarrow \infty} \biggr(1+\frac{z}{n}\biggl)^n,$$
pertanto, \( e^{i\pi} \)è il limite per \( n \rightarrow \infty \) di \( \biggr(1+ \frac{i\pi}{n}\biggl)^n \); questo limite, mano a mano che \( n \) cresce, tende a \( -1 \).
L’identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero, la quale afferma che per ogni numero reale \( x\):
$$ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). $$
L’identità di Eulero può essere ricavata da questa identità come caso particolare in cui \( x=\pi \), ovvero
$$ e^{i\pi} =\cos(\pi) + i\sin(\pi), $$
da cui, poiché \( \cos(\pi) =-1 \) e \( \sin(\pi) =0 \), segue che
$$ e^{i\pi}=-1 + i \cdot 0=-1.$$

Interpretazione geometrica

Qualsiasi numero complesso \( z=x+iy \) può essere rappresentato sul piano complesso da un punto \( (x,y) \). Questo punto può anche essere rappresentato mediante le coordinate polari, \( (r, \theta) \), dove \( r \) è il modulo di \( z \), ovvero la sua distanza dall’origine degli assi e \( \theta \) è l’argomento di \( z \), ovvero l’angolo antiorario preso a partire dall’asse delle \( x \) positivo. Questo punto ha come coordinate cartesiane \( (r\cos(\theta), r\sin(\theta)) \), ovvero \( z= r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \) che attraverso la formula di Eulero può essere scritto come \( z=r e^{i\theta} \). L’identità di Eulero afferma che \( e^{i\pi}=-1 \) ,in questo caso particolare \( r=1, \theta=\pi \); questa relazione può essere interpretata come un punto sul piano complesso di coordinate \( (0,-1) \) che ha distanza pari a \( 1 \) dall’origine degli assi e che forma con l’asse delle ascisse positivo un angolo di ampiezza \( \pi \).

FORMULA DI EULERO

La formula di Eulero è una formula nel campo dell’analisi complessa che mette in relazioni le funzioni trigonometriche con la funzione esponenziale complessa:
$$ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). $$
Questa formula venne provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi venne resa celebre da Eulero nel 1748. Tuttavia, nessuno dei due diede l’interpretazione geometrica della formula, la quale arrivò 50 anni dopo grazie a i Caspar Wessel, Argand e Gauss. La dimostrazione più famosa della formula di Eulero è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale. Le funzioni complesse \( e^z, \cos(z), \sin(z) \) sono definite nell’insieme dei numeri complessi come il limite delle seguenti serie di potenze:
$$ \begin{array}{rl}
& e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots \\
& \cos(z)=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!} -\frac{z^6}{6!}+\cdots \\
& \sin(z)=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!} -\frac{z^7}{7!}+\cdots \\
\end{array} $$
Se \( z \) è reale, questi sviluppi in serie di potenze, coincidono con lo sviluppo in serie di Taylor delle rispettive funzioni reali di variabile reale. Se si sostituisce \( z \) con \( ix \) e si riordina la serie (è possibile farlo grazie alla convergenza assoluta), si ottiene:
$$ \begin{array}{rl}
e^{ix}&=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \frac{(ix)^5}{5!}+ \frac{(ix)^6}{6!}+ \cdots\\
&=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \frac{x^5}{5!}- \frac{x^6}{6!}+ \cdots\\
&=\biggr(1-\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!}+ \cdots \biggl)+i\biggr(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} +\cdots \biggl) \\
&=\cos(x)+i\sin(x).
\end{array} $$