Teorema di Fermat: la ricerca di punti di massimo o minimo

ENUNCIATO E DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI FERMAT

Dati una funzione derivabile \( f(x) \) e un suo punto \( x=c \), se \( f’( c) =0 \) allora \( c \) è un punto stazionario per \( f \). L’enunciato del teorema di Fermat è il seguente: data una funzione \( f \) definita in un intervallo \( [a;b] \) e derivabile in \( ]a;b[ \), se \( f(x) \) ha un massimo o un minimo nel punto \( x_0 \), interno all’intervallo chiuso e limitato \( [a;b] \), la derivata della funzione in quel punto si annulla, ovvero \( f’(x_0)=0 \). Si può suppore che \( x_0 \) sia un punto di massimo; la dimostrazione può essere ripetuta senza troppe modifiche anche nel caso in cui \( x_0 \) sia un punto di minimo. Poiché \( x_0 \) è un punto di massimo, esiste un intorno completo di \( x_0 \), \( I_{\delta} = [x_0 – \delta; x_0 + \delta] \), con \( \delta > 0 \)  tale che:
$$ f(x) \leq f(x_0)  \;\;\;\;\;\; \forall x \in \mathbb{I} $$
Ovvero, per un \( h \in (-\delta, \delta) \), abbastanza piccolo da rimanere nell’intorno:
$$ f(x_0 + h) \leq f(x_0), $$
e quindi \( f(x_0 + h) – f(x_0) \leq 0 \). Quindi, se \( h > 0 \), ovvero \( h \in (0,\delta) \):
$$ \frac{ f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \leq 0. $$
Dal momento che esiste il limite del rapporto precedente per \( h \rightarrow 0^+ \), passando al limite per entrambi i membri e per il teorema di permanenza del segno si può notare che:
$$ \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{ f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \leq 0 $$
Che corrisponde alla derivata desta della funzione nel punto \( x_0 \), ovvero
$$f_{+}^{’} (x_0) \leq 0.$$
Analogamente, se \( h < 0 \), ovvero \( h \in (-\delta,0) \):
$$ \frac{ f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \geq 0. $$
Analogamente a prima, passando al limite per entrambi i membri:
$$ \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{ f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \geq 0 $$
Che corrisponde alla derivata sinistra della funzione nel punto \( x_0 \), ovvero
$$ f_{-}^{’} (x_0) \geq 0.$$
Per l’ipotesi di derivabilità della funzione in \( x_0 \), i due limiti devono necessariamente coincidere, quindi poiché \( f_{-}^{’}(x_0) \geq 0 \) e \( f_{+}^{’}(x_0) \leq 0 \), l’unica possibilità è che sia
$$ f_{-}^{’}(x_0)=0= f_{+}^{’}(x_0), $$
quindi
$$ f’(x_0)=0. $$

Osservazioni sul teorema

Il teorema di Fermat afferma che una funzione derivabile in un punto, che ammette un punto di massimo relativo o di minimo relativo in quel punto, ha necessariamente la derivata prima nulla in quel punto, ovvero che se il punto \( x_0 \) è un punto di massimo o minimo relativo per la funzione e la funzione è derivabile in \( x_0 \), allora \( f’(x_0)=0 \). Dal teorema si può dedurre che una retta tangente in un punto di massimo o minimo relativo (purché non si trovi all’estremità dell’intervallo) è parallela all’asse \( x \), per il significato geometrico di derivata. Il teorema di Fermat fornisce una condizione necessaria per l’esistenza di un massimo o minimo relativo in un punto, ma non sufficiente. Infatti può accadere che la derivata in un punto sia nulla ma che non vi sia un punto di massimo o minimo relativo. Se accade questo, in generale non si è in grado di concludere nulla sul comportamento locale della funzione; per comprendere il comportamento della funzione si può effettuare uno studio sulle derivate successive. La condizione del teorema di Fermat non è sufficiente, infatti potrebbe accadere che:

•  La retta tangente al grafico della funzione può essere parallela all’asse \( x \) in un punto in cui non vi è né un punto di massimo relativo, né un punto di minimo relativo, ma un punto di flesso a tangente orizzontale. In un punto di flesso a tangente orizzontale la derivata prima della funzione, calcolata nel punto, è nulla, tuttavia la derivata della funzione nell’intorno del punto ha lo stesso segno, quindi la funzione cresce o decresce.
• Per un estremo dell’intervallo la condizione del teorema non è neppure necessaria, infatti un estremo dell’intervallo può essere un punto di massimo o di minimo con \( f’(x)\neq 0 \).
• Se venisse a mancare l’ipotesi della derivabilità in tutti i punti all’interno dell’intervallo, la condizione del teorema potrebbe non essere necessaria, in quanto si potrebbero avere dei punti di non derivabilità.

Quindi, i punti estremati di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato \( [a;b] \) vanno ricercati tra:

• I punti in cui la derivata prima si annulla, \( f’(x) = 0 \);
• Gli estremi dell’intervallo;
• Eventuali punti in cui la funzione non è derivabile ma continua.

TEOREMA DI FERMAT IN PIÙ VARIABILI

Esiste una versione del teorema di Fermat che si può estendere alle funzioni di variabile vettoriale, ovvero:
$$ f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}. $$
Questo teorema fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente che i punti stazionari interni a \( \Omega \) devono soddisfare (non può essere utilizzato per cercare estremi vincolati appartenenti alla frontiera dell’insieme). L’enunciato del teorema di Fermat a più variabili è il seguente: sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un aperto, sia \( f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \), sia \( x_0 \in \Omega\) un punto di massimo o minimo relativo per \( f \) e sia \( f \) differenziabile in \( x_0 \). Allora:
$$ \nabla f(x_0)=0. $$

Teorema di Fermat in due variabili

Se \( f \) è definita in un insieme \( D \subseteq \mathbb{R}^2 \) ed è derivabile nel punto di massimo o minimo relativo per la funzione all’interno di \( D \), \( P(x_0,y_0) \), allora
$$ \nabla f(P)=0. $$
Si può suppore che \( P \) sia un punto di massimo relativo per \( f \) interno a \( D \); la dimostrazione può essere ripetuta senza troppe modifiche anche nel caso in cui \( P \) sia un punto di minimo. Poiché \( P \) è un punto di massimo, esiste un intorno \( B \) di raggio \( \delta \):
$$f(x_0,y_0) \geq f(x,y). \;\; \forall (x,y) \in B_\delta (P) $$
In particolare, fissato \( y=y_0 \), la funzione \( F(x)=f(x,y_0) \) soddisfa la seguente disuguaglianza:
$$ F(x_0) \geq F(x). \;\; \forall x \in (x_0 – \delta, x_0 + \delta) $$
Quindi \( x_0 \) è un punto di massimo relativo per la funzione in una variabile \( F(x) \), per la quale vale il teorema di Fermat: \( F’(x_0)=0 \). Quindi:
$$ F’(x_0)=f_x(x_0,y_0)=0. $$
Analogamente si può dimostrare che \( f_y(x_0,y_0)=0. \) e quindi segue la tesi:
$$ \nabla f(x_0,y_0)=0. $$
La condizione è necessaria e non sufficiente: esistono dei punti tali che \( \nabla f(x_0,y_0)=0 \) che non sono né punti di massimo relativo, né di minimo relativo e sono chiamati punti di sella.