Equazioni di secondo grado: risoluzione e applicazioni

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

In matematica un’equazione di secondo grado, o quadratica, è sempre riconducibile alla forma:
$$ax^2+bx+c=0 \,\,\,\, \mbox{con  } a \neq 0.$$
Per una diretta conseguenza del teorema fondamentale dell’algebra, ovvero che un polinomio a coefficienti complessi ammette esattamente \( n \) radici (o soluzioni) complesse (contate con le relative molteplicità), mentre un polinomio a coefficienti reali ammette al più \( n \) radici reali, una equazione di secondo grado nel campo dei numeri reali può ammettere due soluzioni, una soluzione doppia oppure nessuna soluzione.

Risoluzione equazioni di secondo grado

Un’equazione nella forma \( ax^2+bx+c=0 \) si definisce completa se tutti i coefficienti sono diversi da \( 0 \), ovvero se \(a,b,c \neq 0 \).
Se alcuni dei coefficienti sono invece uguali a \( 0 \), l’equazione quadratica si definisce incompleta, in particolare:

•  se \( b=0 \) l’equazione di secondo grado si definisce pura;
•  se \( c=0 \) l’equazione di secondo grado si definisce spuria;
• se \( b=c=0 \) l’equazione di secondo grado si definisce monomia.

Risoluzione di un’equazione di secondo grado pura

Un’equazione quadratica pura è un’equazione di secondo grado in cui manca il termine di primo grado, ovvero \( b=0 \):
$$ax^2+c=0.$$
Per risolvere l’equazione di secondo grado pura, si sposta \( c \) al secondo membro e si divide per \( a \):
$$ x^2=-\frac{c}{a}.$$
A questo punto se \( -\frac{c}{a} >0\) l’equazione presenta due soluzioni del tipo:
$$ x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}; $$
se invece \( -\frac{c}{a} <0\) non esistono soluzioni in campo reale, in quanto non può esistere la radice quadrata di un numero negativo; tuttavia esistono due soluzioni nel campo dei numeri complessi.

Risoluzione di un’equazione di secondo grado spuria

Un’equazione quadratica spuria è un’equazione di secondo grado in cui manca il termine noto, ovvero \( c=0 \):
$$ax^2+bx=0.$$
Per risolvere l’equazione di secondo grado spuria, si raccoglie a fattor comune l’incognita:
$$ x(ax+b)=0,$$
per la legge di annullamento del prodotto questa equazione è equivalente a:
$$ x=0, \,\,\,\,\,\,\, ax+b=0, $$
ovvero le soluzioni sono:
$$ x=0, \,\,\,\,\, \mbox{e} \,\,\, x=-\frac{b}{a}. $$
Nel caso delle equazioni spurie una delle due soluzioni sarà la soluzione nulla.

Risoluzione di un’equazione di secondo grado monomia

Un’equazione quadratica monomia è un’equazione di secondo grado in cui mancano il termine di primo grado e il termine noto, ovvero \( b=c=0 \):
$$ax^2=0.$$
In questo caso l’equazione ammette come unica soluzione di molteplicità due \( 0 \), ovvero \( x_1=x_2=0 \).

Risoluzione di un’equazione di secondo grado completa: formula risolutiva

Una equazione di secondo grado si definisce completa se tutti i coefficienti sono diversi da \( 0 \), ovvero se si presenta nella forma \( ax^2+bx+c=0 \). Per trovare le soluzioni si ricorre al metodo del completamento del quadrato, ovvero l’obiettivo è ottenere al primo membro un quadrato di binomio (\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)).
Per procedere si sposta il termine noto al secondo membro:
$$ ax^2+bx=-c,$$
Si moltiplicano entrambi i membri per \( 4a \), ottenendo:
$$ 4a^2x^2+4abx=-4ac, $$
In cui si nota che \( 4^2x^2=(2ax)^2\) e che \( 4abx= 2 \cdot 2ax \cdot b \). A questo punto si aggiunge a entrambi i membri \( b^2 \) e si ottiene:
$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac,$$
Si può scrivere dunque come:
$$ (2ax+b)^2= b^2-4ac.$$
Risolvendo si ottiene
$$ 2ax+b= \pm \sqrt{ b^2-4ac},$$
e quindi:
$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^2-4ac}}{2a}= \frac{-b \pm \sqrt{ \Delta}}{2a}$$
sono le due soluzioni cercate.
Il radicando prende il nome di discriminante, \( \Delta = b^2-4ac \) e l’esistenza delle soluzioni nel campo reale è determinata da questo valore.

• Se \( \Delta >0\) vi sono due soluzioni reali e distinte:
  $$ x_1= \frac{-b + \sqrt{ b^2-4ac}}{2a} \,\,\,\, x_2=\frac{-b – \sqrt{ b^2-4ac}}{2a} $$
• Se \( \Delta =0\) vi sono due soluzioni reali e coincidenti (una sola radice di molteplicità due), infatti la formula risolutiva diventa:
  $$x_{1,2}=\frac{-b \pm 0}{2a}=\frac{-b}{2a}.$$
• Se \( \Delta < 0\), l’equazione non ha soluzioni reali; vi sono però soluzioni nel campo dei complessi, due numeri complessi coniugati:
  $$ x_+=-\frac{b}{2a} + i \biggl(\frac{\sqrt{ b^2-4ac}}{2a}\biggr)  \mbox{  e  }  x_-=-\frac{b}{2a} + i \biggl(\frac{\sqrt{ b^2-4ac}}{2a}\biggr) $$

Anche le equazioni di secondo grado incomplete possono essere risolte con la formula risolutiva \( x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^2-4ac}}{2a} \).
Nel caso in cui il coefficiente \( b \) sia divisibile per \( 2 \) si può utilizzare una formula alternativa, la formula ridotta:
$$ x=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{ \bigl(\frac{b}{2}\bigr)^2-ac}}{a}; $$
nel caso in cui anche \( a \) sia pari a \( 1 \), è possibile usare la formula ridottissima:
$$ x=-\frac{b}{2} \pm \sqrt{ \biggl(\frac{b}{2}\biggr)^2-c}. $$

Interpretazione geometrica

Le radici di una equazione polinomiale di secondo grado sono i punti in cui la funzione \( f(x)=ax^2+bx+c \), che rappresenta una parabola, assume valore nullo (\( f(x)=0 \)). Questi punti sono i punti di intersezione della parabola con l’asse delle ascisse. La posizione della parabola dipende dal discriminante:

• se \( \Delta >0\) la parabola è secante e interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti;
• se \( \Delta =0\) la parabola è tangente all’asse delle ascisse nel vertice della parabola;
• se \( \Delta <0\) la parabola è esterna e non interseca l’asse delle ascisse.

Scomposizione in fattori del trinomio

Considerando il polinomio completo di secondo grado \( ax^2+bx+c \), se si indica con \( s \) la somma delle soluzioni \( x_1 \) e \( x_2 \) (se \( \Delta=b^2-4ac \geq 0 \)) e con \( p \) il loro prodotto, allora è possibile scrivere il polinomio di partenza nel seguente modo:
$$x^2-sx+p.$$
Quindi:
$$ s=x_1+x_2= \frac{-b – \sqrt{ \Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a}= -\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}, $$
e
$$ p=x_1 \cdot x_2 = = \frac{-b – \sqrt{ \Delta}}{2a} \cdot \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a}= \frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{c}{a}.$$
Quindi l’equazione di secondo grado completa, \( ax^2+bx+c=0 \), può essere scritta, dividendo per \(a \neq 0\), come:
$$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
e poi sostituendo opportunamente si ottiene:
$$x^2-sx+p=0.$$
Si consideri l’equazione di secondo grado completa:

• se \( \Delta >0 \), ovvero l’equazione ha sue soluzioni ha due soluzioni distinte \( x_1 \) e \( x_2 \), allora il trinomio può essere scomposto in fattori, in particolare nel prodotto di due binomi di primo grado. Infatti:
  $$ \begin{array}{rl}
  ax^2+bx+c &= a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\
  &=a(x^2-sx+p) \\
  &=a(x^2-(x_1+x_2)+x_1 \cdot x_2)\\
  &=a(x(x-x_1)-x_2(x-x_1) \\
  &=a(x-x_1)(x-x_2); \\
  \end{array} $$
• se \( \Delta =0 \), si ha che \( x_1=x_2 \) e dunque la scomposizione sarà data da:
  $$ ax^2+bx+c = a(x-x_1)^2; $$
• se \( \Delta <0 \), l’equazione non ha soluzioni, quindi il trinomio non è scomponibile.

Regola dei segni o di Cartesio

La regola di Cartesio consente nel determinare il segno delle soluzioni di un’equazione di secondo grado, qualora esistano, senza risolvere l’equazione ma ponendo l’attenzione sulle permanenze e le variazioni; si ha una permanenza quando il segno rimane invariato da un coefficiente al suo consecutivo e di variazione altrimenti. Ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa, mentre a ogni variazione una soluzione di segno positivo. Si prospettano dunque i seguenti casi:

• se \( a,b,c >0 \) allora, avendo due permanenze, si avranno entrambe le soluzioni con segno negativo; infatti il prodotto delle soluzioni, \( \frac{c}{a} \) è positivo, mentre la loro somma \( -\frac{b}{a} \) è negativa;
• se \( a >0 \) e \( b, c < 0 \) si hanno una variazione ed una permanenza, quindi le soluzioni sono discordi, infatti il prodotto delle soluzioni è negativo, ma, poiché la somma delle soluzioni è positiva, la soluzione più grande in valore assoluto tra le due sarà quella maggiore di \( 0 \);
• se \( a,b >0 \) e \( c < 0 \) si hanno una permanenza ed una variazione, quindi le soluzioni sono discordi, infatti il prodotto delle soluzioni è negativo, ma, poiché la somma delle soluzioni è negativa, la soluzione più grande in valore assoluto tra le due sarà quella minore di \( 0 \);
• se \( a,c >0 \) e \( b < 0 \) si hanno due variazioni, quindi le soluzioni saranno entrambe positive; infatti sia il loro prodotto che la loro somma sono positivi.

Nel caso in cui il coefficiente \( a \) fosse negativo, ovvero \( a<0 \), si potrebbero moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per \( -1 \) per tornare ai casi precedenti.

DA DOVE NASCONO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO?

Le equazioni di secondo grado erano conosciute fin dall’antichità: vennero studiate dai Babilonesi, dai Greci e dagli Arabi e poi nel Medioevo. Le prime testimonianze risalgono ai Babilonesi, dei quali sono state ritrovate delle tavolette di argilla con sopra delle equazioni quadratiche e dei metodi di risoluzione. Spesso queste equazioni erano legate a problemi geometrici. Fino al Medioevo tuttavia le soluzioni negative non venivano accettate, pertanto per i Babilonesi non esistevano le equazioni quadratiche che ammettevano solamente soluzioni negative. I matematici babilonesi e cinesi, attorno al 400 a.C., utilizzarono il metodo del completamento del quadrato per risolvere le equazioni quadratiche con radici positive, ma non proposero una formula risolutiva generale. Tra il IV secolo e il VI secolo a.C. anche i greci utilizzarono equazioni quadratiche legate a problemi geometrici; Euclide e Diofanto di Alessandria contribuirono allo studio, ma si deve aspettare il manoscritto di Bakshali, scritto in India tra il 200 e il 400 d.C., per introdurre la formula risolutiva generale. Altri matematici indiani studiarono le equazioni quadratiche: Brahmagupta fu il primo ad utilizzare la formula risolutiva e ad accettare anche le soluzioni negative; Al-Khwarizmi sviluppò indipendentemente dei metodi risolutivi per le equazioni quadratiche che ammettono soluzioni positive, ponendo anche attenzione sul segno del discriminate che deve essere positivo per poter risolvere l’equazione. Il primo a introdurre in Europa la soluzione completa delle equazioni quadratiche fu Savasorda, un matematico spagnolo, con il suo libro Liber embadorum. Successivamente altri matematici approfondirono le equazioni quadratiche raggiungendo importati risultati: Viète fu il primo ad ipotizzare che i coefficienti potessero assumere anche valori negativi e scoprì le formule, che portano il suo nome, che riguardano la relazione tra i coefficienti di una equazione (anche di grado superiore al secondo) e le sue soluzioni; Cartesio invece introdusse la regola dei segni nel XVII secolo.