Achille e la tartaruga: il famoso paradosso

IL PARADOSSO DI ACHILLE E LA TARTARUGA

Il paradosso di Achille e la Tartaruga, il più famoso tra i paradossi di Zenone, ci è stato tramandato da Aristotele, in una citazione nel trattato Fisica del IV secolo a.C.. Una delle descrizioni più famose del paradosso è stata invece fornita da Jorge Luis Borges. Zenone immagina che il rapido Achille venga sfidato a raggiungere una lenta tartaruga. Achille deve raggiungere una tartaruga e, poiché corre dieci volte più veloce di lei, inizialmente le fornisce un vantaggio spaziale di dieci metri; in questo modo, nel tempo in cui Achille percorre dieci metri, la tartaruga, continuando a camminare, percorre un metro; nel tempo in cui Achille percorre un metro, la tartaruga percorre dieci centimetri; nel tempo in cui Achille percorre un millimetro, la tartaruga avanza di un decimo di millimetro e così via all’infinito diminuendo sempre di più lo spazio percorso. Quindi nel tempo in cui Achille percorre un tratto percorso già dalla tartaruga, quest’ultima sarà avanzata ulteriormente di un altro tratto rendendo impossibile ad Achille il suo raggiungimento. Quindi, in accordo con Zenone, una distanza finita non può essere percorsa perché si suddivide in frazioni infinite e la somma infinita di lunghezze molto piccole dà come risultato sempre un numero infinito. Il paradosso venne confutato dal filosofo Diogene di Sinope, che volle darne una dimostrazione fisica; secondo Aristotele invece, una distanza finita è infinita solamente nella concezione mentale, perché può essere percorsa all’atto pratico.

Soluzione matematica del paradosso

L’ipotesi di Zenone, ovvero che la somma infinita di infinite lunghezze, anche se molto piccole, dia come risultato un numero infinito, può essere smentita dalle serie convergenti. Una serie è convergente se il limite delle sue somme parziali è finito, ovvero, data una successione \( a_i \), la serie
$$ \sum_{i=0}^{\infty} a_i $$ si dice convergente se ha un limite finito, \( S \), la successione delle somme parziali
$$ S_n=\sum_{i=0}^{n} a_i.$$
Il paradosso può essere confutato se si ricorre ad una serie geometrica. Una serie geometrica è una serie in cui è costante il rapporto, detto ragione, tra un elemento e il suo precedente, del tipo:
$$\sum_{k=0}^{\infty} a^k.$$
Le somme parziali della serie sono del tipo
$$ S_n=\sum_{i=0}^{n} a^k=1+a+a^2+\ldots+a^n;$$
inoltre \( S_n=\sum_{i=0}^{n} a^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a} \). Se la ragione, \( a \), è compresa tra \( -1 \mbox{ e } 1 \), ovvero \( |a|<1 \), la serie converge a:
$$\sum_{k=0}^{\infty} a^k=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n} a^k =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1-a^{n+1}}{1-a} = \frac{1}{1-a}. $$ Se si studia il paradosso dal punto di vista del tempo \( T \) impiegato da Achille per raggiungere la tartaruga, si ha che
$$ T= t_0+t_1+t_2+\ldots,$$
Ovvero il tempo totale è composto da intervalli di tempo sempre più piccoli, in quanto le distanze da percorrere sono sempre più brevi. Quindi la somma può essere ricondotta a una serie geometrica con ragione compresa tra \( -1 \mbox{ e } 1 \) e quindi convergente ad un valore finito, \( T \) e non infinito, come ipotizzato da Zenone.
Si consideri la posizione di Achille al tempo \( 0 \), \( S=0 \), e la posizione della tartaruga al tempo \( 0 \), \( S=S_0 \); si indichi con \( v_A \) la velocità di Achille e con \( v_T \) la velocità della tartaruga. Si può supporre che entrambi si muovano a velocità costante, quindi, per la legge del moto rettilineo uniforme, Achille impiega un tempo \( t_0=\frac{S_0}{v_A} \) per raggiungere la posizione \( S_0 \); nello stesso tempo la tartaruga sarà invece avanzata del tratto \( S_1=v_T \cdot t_0 = v_T \cdot \frac{S_0}{v_A}= S_0 \cdot \frac{v_T}{v_A} \). Se si rinomina il rapporto \( \frac{v_T}{v_A} =d\), si ottiene che
$$ S_1= S_0 \cdot d;$$
oppure, analogamente, dividendo per \( v_A \) entrambi i membri, si ottiene \( \frac{S_1}{v_A}=\frac{S_0}{v_A} \cdot t \), ovvero
$$ t_1=t_0 \cdot d. $$
Quando Achille avrà percorso il tratto \( S_1 \) nell’intervallo di tempo \( t_1=\frac{S_1}{v_A} \), la tartaruga avrà percorso la distanza \( S_2=v_T \cdot t_1 = v_T \cdot \frac{S_1}{v_A}= S_1 \cdot \frac{v_T}{v_A}= S_0 \cdot (\frac{v_T}{v_A})^2 \), ovvero
$$ S_2=S_0 \cdot d^2; $$
oppure, analogamente, dividendo per \( v_A \) entrambi i membri, si ottiene \( \frac{S_2}{v_A}=\frac{S_0}{v_A} \cdot t \), ovvero
$$ t_2=t_0 \cdot d^2. $$
Proseguendo con la stessa logica, si ottiene:
$$ t_n=t_0 \cdot d^n. $$
Si considerai il tempo \( T=t_0+t_1+t_2+\ldots \) impiegato da Achille per raggiungere la tartaruga, sostituendo, si ottiene:
$$ T=t_0+t_1+t_2+\ldots=t_0 (1+d+d^2+\ldots)= \frac{S_0}{v_A}(1+d+d^2+\ldots)=\frac{S_0}{v_A} \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{v_T}{v_A})^n. $$
La serie \( \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{v_T}{v_A})^n \) è una serie geometrica con ragione \(d=\frac{v_T}{v_A} <1 \) e quindi convergente a \( \frac{1}{1-\frac{v_T}{v_A}} \).
Quindi:
$$ T=\frac{S_0}{v_A} \cdot \frac{1}{1-\frac{v_T}{v_A}}=\frac{S_0}{v_A-v_T}. $$
Analogamente, moltiplicando entrambi i membri per \( v_A \), si ottiene la distanza che deve percorrere Achille per raggiungere la tartaruga:
$$ S=\frac{S_0 \cdot v_A}{v_A-v_T},$$
in cui è stata fatta la sostituzione \( S=T \cdot v_A. \)

Se si sostituiscono nell’espressione appena trovata i seguenti dati, ovvero \( S_0=10 \,\, m, v_A=10 \,\, \frac{m}{s} \) e \( v_T=1 \,\, \frac{m}{s} \), si ottiene che Achille raggiungerà la tartaruga dopo un intervallo di tempo pari a
$$ T=\frac{10 \,\, m}{ 10 \,\, \frac{m}{s} – 1 \,\, \frac{m}{s}} \approx 1,11 \,\, s; $$
e percorrerà una distanza pari a
$$ S=T \cdot v_A=1,11 \,\, s \cdot 10 \,\, \frac{m}{s} \approx 11,1 \,\, m. $$

Soluzione alternativa

Si può giungere alla medesima conclusione considerando i moti di Achille e della tartaruga come moti rettilinei uniformi. La legge oraria del moto di Achille può essere espressa nel seguente modo:
$$ S_A(t)=v_A \cdot t,$$
quella della tartaruga, invece:
$$ S_T(t)=S_0+v_T \cdot t $$
dove \( v_A \mbox{ e } v_T \) sono rispettivamente le velocità costanti di Achille e della tartaruga, \( S_0 \) è la posizione iniziale della tartaruga e \( S_A \mbox{ e } S_T \) sono le posizioni di Achille e della tartaruga in funzione del tempo \( t \). Il punto di incontro di Achille e della tartaruga si avrà quando
$$ S_A(T)=S_T(T),$$
dove \( T \) è l’istante temporale in cui Achille raggiunge la tartaruga e può essere trovato uguagliando le due leggi orarie:
$$ v_A \cdot T = S_0+v_T \cdot T $$
da cui, dopo aver fatto dei passaggi algebrici:
$$ T=\frac{S_0}{v_A-v_T}. $$
Sostituendo il valore appena trovato in una delle leggi orarie iniziali, si ottiene la distanza rispetto al punto inziale in cui Achille raggiunge la tartaruga, ovvero:
$$ S=\frac{S_0 \cdot v_A}{v_A-v_T}. $$