Paradosso del Grand Hotel: il concetto di infinito

IL PARADOSSO DEL GRAND HOTEL

Nella formulazione del suo paradosso, Hilbert ipotizza l’esistenza di un albergo con un numero infinito di stanze e afferma che, qualunque sia il numero di ospiti che decidano di giungere all’hotel, vi sarà sempre il posto per ospitarli, sia nel caso che siano in numero finito che infinito, purché si tratti di un insieme di persone infinito numerabile. Un insieme si dice numerabile se i suoi elementi sono in numero finito o se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali; ad esempio l’insieme dei numeri interi, \( \mathbb{Z} \), oppure l’insieme dei numeri razionali, \( \mathbb{Q} \) sono numerabili. Di questo paradosso ne esistono anche versioni narrative, ad esempio “L’hotel straordinario” di Naum Yakovlevich Vilenkin. Il paradosso aiuta a comprendere delle proprietà controintuitive degli insiemi infiniti.

Spiegazione: ospiti in numero finto

Nel caso in cui giungano all’albergo un numero finito di persone, ad esempio \( 2 \) persone, per ospitare ognuno in una stanza diversa, basterà spostare tutti i clienti che già si trovano nell’hotel, posizionandoli in una camera con due numeri successivi a quella attuale: l’ospite della camera \( 32 \) andrà spostato nella camera \( 32 + 2 = 34 \) e in generale:
$$N_{\mbox{Camera nuova}} =N_{\mbox{Camera vecchia}} + O, $$
dove \( O \) è il numero di nuovi ospiti. In modo analogo, se \( k \) ospiti volessero lasciare l’albergo, ogni ospite rimanente potrebbe spostarsi dalla camera \( n \) alla camera \( n-k \). Questa operazione è possibile in quanto l’hotel ha camere infinite.

Spiegazione: ospiti in numero infinito

Nel caso in cui giungano all’albergo un numero infinito di ospiti, si potrebbe procedere allo stesso modo visto in precedenza, ma Hilbert sostiene che la soluzione più semplice sia quella di spostare ogni ospite che si trova nell’hotel nella stanza che ha un numero doppio rispetto a quella attuale, ovvero per esempio chi soggiorna alla stanza numero \( 1 \) verrà spostato alla \( 2 \) e chi si trova alla \( 13 \) verrà spostato alla \( 26 \) e in generale:
$$ N_{\mbox{Camera nuova}} =2 \cdot N_{\mbox{Camera vecchia}}; $$
in questo modo gli ospiti che già soggiornavano nell’hotel verranno collocati nelle camere con numero pari e i nuovi ospiti potranno essere collocati nelle stanze con numeri dispari, che sono infinite. Un altro modo per poter collocare insiemi infiniti di nuovi ospiti nell’hotel, potrebbe consistere nello spostare tutti gli ospiti che già soggiornano nell’hotel e si trovano in stanze con numero dispari in modo tale che l’ospite che soggiorna nella stanza \( n \) sia collocato nella stanza \( 2^n \). Sia \( m \) il numero associato al singolo individuo di ogni gruppo. Il primo insieme numerato di ospiti che arriva all’albero potrà essere collocato nelle stanze \( 3^m \) e così via, gli ospiti del \( k\)-esimo gruppo verranno collocati nelle stanze \( p^m \) con \( p \) \(k\)-esimo numero primo dispari. Questo metodo lascia delle stanze vuote, in particolare tutte quelle stanze il cui numero non è una potenza di primi, come ad esempio la stanza \( 10 \), ma riesce a collocare tutte le persone nel Grand Hotel. Nel caso in cui ci fossero infiniti hotel, tutti con infinite stanze al completo e fossero tutti costretti a chiudere, tranne uno, per posizionare tutti gli ospiti nell’albergo aperto, si potrebbe procedere come in precedenza, spostando gli ospiti un numero infinito di volte, oppure si può procedere in modo alternativo associando ad ogni ospite una coppia di numeri \( (a,s) \), dove \( a \) rappresenta l’albergo di provenienza e \( s \) la stanza. In questo modo si viene a creare una matrice:
$$ \begin{array}
(1,1) & (1,2) & (1,3) & \cdots & (1,s) & \cdots \\
(2,1) & (2,2) & (2,3) & \cdots & (2,s) & \cdots \\
(3,1) & (3,2) & (3,3) & \cdots & (3,s) & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
(a,1) & (a,2) & (a,3) & \cdots & (a,s) & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array}
$$
Quindi per assegnare gli ospiti al nuovo hotel si può procedere in diagonale, partendo dal primo termine in alto a sinistra e procedendo in diagonale scendendo ogni volta di un termine nella prima colonna:
$$ (1,1) \rightarrow 1 \,\,\,\, (2,1) \rightarrow 2 \,\,\,\, (1,2) \rightarrow 3 \,\,\,\, (3,1) \rightarrow 4 \,\,\,\, (2,2) \rightarrow 5 \,\,\,\, (1,3) \rightarrow 6\,\,\,\, \cdots. $$
In questo modo si riuscirebbe a dare ad ogni persona una nuova collocazione.