Paradosso delle tre carte: probabilità e realtà

IL PARADOSSO DELLE TRE CARTE

Nella formulazione del paradosso delle tre carte, la cui soluzione è distante dal senso comune, si ipotizza di avere a disposizione tre carte con le seguenti caratteristiche: la carta \( C_1 \) che ha entrambi i lati di colore rosso, \( C_2 \) che ha un lato di colore rosso e uno di colore blu e la carta \( C_3 \) che ha entrambi i lati di colore blu. Estraendo una carta delle tre casualmente e notando che un lato è di colore rosso, qual è la probabilità che anche il secondo lato sia rosso? La risposta intuitiva che verrebbe da dare per rispondere al quesito è che questa probabilità sia \( \frac{1}{2} \), in quanto solamente le carte \( C_1 \) e \( C_2 \) presentano un lato di colore rosso e solamente una delle due ha entrami i lati rossi; tuttavia tale risposta risulta errata e questa probabilità si può dimostrare essere uguale a \( \frac{2}{3} \). Il testo originale del paradosso venne proposto nel 1950 da Warren Weaver, matematico statunitense considerato uno dei padri della traduzione automatica. Una versione analoga del problema venne presentata da Joseph Bertrand nel 1889 in “Calcul des probabilitès”, in cui ipotizza l’esistenza di tre scatole, la prima contenente due monete d’oro, la seconda una moneta d’oro e una d’argento e la terza due monete d’argento e analizza, dopo avere scelto una scatola ed estratto una moneta casualmente, se si tratta di una moneta d’oro, quale sia la probabilità che anche la seconda sia d’oro; questa probabilità risulta essere, controintuitivamente, uguale a \( \frac{2}{3} \).

Soluzione del problema

Per spiegare il paradosso occorre considerare tutti i casi che si possono prospettare. Tutte e tre le carte hanno un lato visibile, LV, e un lato non visibile, LNV, quindi si possono verificare \( 6 \) casi possibili ed equiprobabili:
$$\begin{array}
\mbox{Caso} \,\,\, & \mbox{LV} \,\,\, & \mbox{LNV} \\
1 \,\,\, & \mbox{Rosso} \,\,\, & \mbox{Rosso} \\
2 \,\,\, & \mbox{Rosso} \,\,\, & \mbox{Rosso} \\
3 \,\,\, & \mbox{Rosso} \,\,\, & \mbox{Blu} \\
4 \,\,\, & \mbox{Blu} \,\,\, & \mbox{Rosso} \\
5 \,\,\, & \mbox{Blu} \,\,\, & \mbox{Blu} \\
6 \,\,\, & \mbox{Blu} \,\,\, & \mbox{Blu} \\
\end{array}$$

Se si escludono gli ultimi \( 3 \) casi, dove il lato visibile è blu, rimangono \( 3 \) casi in cui il lato visibile è rosso, due dei quali sono favorevoli, infatti:

$$ \begin{array}
\mbox{Caso} \,\,\, &\mbox{LV} \,\,\, &\mbox{LNV} \,\,\, &\mbox{Favorevole} \\
1 \,\,\, & \mbox{R} \,\,\, & \mbox{R} \,\,\, & \mbox{Sì} \\
2 \,\,\, & \mbox{R} \,\,\, & \mbox{R} \,\,\, & \mbox{Sì} \\
3 \,\,\, & \mbox{R} \,\,\, & \mbox{B} \,\,\, & \mbox{No} \\
\end{array}
$$

Quindi per calcolare la probabilità che il secondo lato sia rosso, basta effettuare il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, infatti la probabilità che si verifichi un evento \( E \) è \( P(E)=\frac{\mbox{Esiti favorevoli}}{\mbox{Esiti possibili}} \), quindi in questo caso:
$$ P(\mbox{Il lato non visibile della carta è rosso})=\frac{2}{3}. $$

Dimostrazione matematica

Questo problema si può risolvere matematicamente utilizzando la probabilità condizionata, poiché si conosce a priori il colore della faccia visibile. La probabilità condizionata dell’evento \( E \) rispetto all’evento \( F \) è definita nel seguente modo:

$$ P(E|F)= \frac{P(E \cap F)}{P(F)}. $$

Nel caso del paradosso delle tre carte, come eventi si considerano gli eventi \( E=\mbox{“Lato non visibile è di colore rosso”} \) ed \( F=\mbox{“Lato visibile è di colore rosso”} \); di conseguenza l’evento \( E \cap F =\mbox{“Entrambi i lati della carta sono rossi”} \). Quindi, considerando i \( 6 \) casi visti in precedenza, \( P(F)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \) e \( P(E \cap F)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \), ovvero la probabilità che si verifichino contemporaneamente gli eventi \( E \) ed \( F \). Sostituendo nella formula iniziale si ha la probabilità cercata:

$$ P(E|F)= \frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}. $$

Alternativamente si può utilizzare il teorema di Bayes per dimostrare matematicamente il problema. Il teorema di Bayes, considerando gli eventi \( E \) ed \( F \), afferma:

$$ P(E|F)=\frac{P(F|E) \cdot P(E)}{ P(F|E) \cdot P(E) + P(F|E^C) \cdot P(E^C)}, $$

dove \( E^C \) è l’evento complementare di \( E \), ovvero \( E=\mbox{“Lato non visibile non è di colore rosso”} \). A questo punto, considerando i \( 6 \) casi visti in precedenza:

•  \( P(F|E) = \frac{2}{3} \), ovvero la probabilità che il lato visibile sia di colore rosso sapendo che il lato non visibile della carta è rosso;
• \( P(E) = \frac{1}{2} \), ovvero la probabilità che il lato non visibile sia di colore rosso;
• \( P(F|E^C) = \frac{1}{3} \), ovvero la probabilità che il lato visibile sia di colore rosso sapendo che il lato non visibile non è di colore rosso;
• \( P(E^C) = \frac{1}{2} \), ovvero la probabilità che il lato non visibile sia di colore rosso.

Quindi, sostituendo:

$$ P(E|F)=\frac{P(F|E) \cdot P(E)}{ P(F|E) \cdot P(E) + P(F|E^C) \cdot P(E^C)}=\frac{ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}{ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$$