Paradosso delle due buste: logica controintuitiva

IL PARADOSSO DELLE DUE BUSTE

Nella formulazione del paradosso delle due buste si pone l’attenzione su due fatti:

• Le due buste sono identiche, quindi non vi è alcuna differenza nella scelta di una o dell’altra;
• Non è possibile in alcun modo capire se il valore della seconda busta sia maggiore o minore di essa, anche nel caso in cui si conoscesse il valore della prima busta.

Si può supporre che le due buste abbiano una un valore doppio dell’altra. Applicando la teoria delle decisioni, branca della matematica in cui problemi decisionali complessi vengono risolti e studiati mediante modelli matematici avanzati, si può arrivare alla conclusione che convenga, una volta scelta una delle due buste, cambiare la propria decisione. Il paradosso, nella versione delle due buste, venne presentato nel 1989 da Barry Nalebuff; ma, una formulazione analoga del paradosso risale al 1953, ad opera di un matematico belga Maurice Kraitchik, con protagonisti due portafogli.

Analisi del paradosso

Si immagini di scegliere una delle due buste e di aprirla e si supponga che essa contenga un premio di valore \( A \). Secondo quanto detto in precedenza, la seconda busta, esteriormente identica alla prima, conterrà un premio di valore \( \frac{A}{2} \) oppure di valore \( 2A \); quindi in caso di cambio o il premio si raddoppierebbe, oppure si dimezzerebbe e si può considerare che entrambe le opzioni abbiano probabilità \( \frac{1}{2} \). Quindi, vista la notevole differenza tra possibile perdita e possibile guadagno, converrebbe cambiare la propria busta. Dal punto di vista matematico, se si calcola il guadagno atteso, il valore medio di una variabile aleatoria, che si ha cambiando la busta, si può notare che convenga sempre il cambio. Il valore atteso, \( \mathbb{E}[X] \), di una variabile aleatoria \( X \) che assume valori \( {x_1,x_2, \cdots} \) con probabilità \( {p_1,p_2, \cdots} \) è definito nel seguente modo:
$$ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{\infty} x_i \cdot p_i. $$
Nel caso del paradosso delle due buste se si calcola il valore atteso del denaro nell’altra busta, considerando che la seconda busta contiene il doppio del valore con probabilità \( \frac{1}{2} \) e un valore dimezzato con probabilità \( \frac{1}{2} \), si ottiene:
$$G=2A \cdot \frac{1}{2} + \frac{A}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{4} A, $$
che è una quantità maggiore di \( A \), qualunque sia il valore iniziale di \( A \). A questo punto si può procedere con lo stesso identico ragionamento per la busta \( B \), giungendo alla conclusione che conviene cambiare di nuovo e quindi di proseguire con questo ragionamento infinite volte. Questa conclusione sembra apparentemente assurda, quindi vi deve essere qualcosa di scorretto nel ragionamento effettuato. Infatti se il cambio è sempre conveniente si arriverebbe a cambiare all’infinito la busta.

Soluzione del paradosso

Sono state proposte diverse soluzioni per il paradosso delle due buste e ve ne esistono diverse versioni in circolazione. Si consideri che l’importo totale di entrambe le buste abbia un valore costanti e pari a \( 3N \), quindi una busta contiene un importo pari a \( N \) e l’altra busta un importo pari a \( 2N \). Se si sceglie la busta con importo \( N \), scambiandola si guadagnerebbe un importo pari a \( N \); mentre se si sceglie inizialmente la busta con importo \( 2N \), scambiandola si perderebbe un importo pari a \( N \). Quindi in media il guadagno è pari a:
$$ G= \frac{1}{2} \cdot N + \frac{1}{2} \cdot (-N)=\frac{1}{2} \cdot (N-N)=0. $$
Questo significa che scambiare la busta mediamente non si rivela una scelta migliore rispetto al tenerla. Parlando in termini di valore atteso, esso risulta essere \( E= \frac{1}{2} \cdot 2N+\frac{1}{2} \cdot N= \frac{3}{2} N \) e risulta essere lo stesso per entrambe le buste. Quindi la scorrettezza del ragionamento che porta alla formulazione del paradosso è l’affermazione che, dopo aver scelto una delle due buste, l’altra busta contiene un importo pari a \( 2A \) con probabilità \( \frac{1}{2} \) e un importo pari ad \( \frac{A}{2} \) con probabilità \( \frac{1}{2} \). Questa affermazione non può essere corretta nella situazione sopraenunciata; infatti la busta non scelta può contenere un importo pari a \( 2A \) solamente nel caso in cui la busta scelta contenga un importo pari a \( \frac{Totale}{3} \), analogamente la busta non scelta può contenere un importo pari a \( \frac{A}{2} \) solamente nel caso in cui la busta scelta contenga un importo pari a \( \frac{2}{3} \mbox{ } Totale\). Infatti la differenza tra i due importi è sempre costante e pari a \( N=\frac{Totale}{3} \). Alternativamente si può fare un altro ragionamento. Come visto sopra, vi è una probabilità pari a \( \frac{1}{2} \) che nella busta \( A \) sia contenuto l’importo \( 2N \) e una probabilità pari a \( \frac{1}{2} \) che vi sia contenuto l’importo \( N \). Quindi il valore dell’importo atteso nella busta \( A \) è:
$$ E(A)= P(A=2N) \cdot 2N+P(A=N) \cdot N= \frac{1}{2} \cdot N+\frac{1}{2} \cdot 2N= \frac{3}{2} N; $$
stesso identico discorso vale per la busta \( B \), quindi il valore dell’importo atteso nella busta \( B \) è:
$$ E(B)= P(B=N) \cdot N+P(B=2N) \cdot 2N =\frac{1}{2} \cdot N+\frac{1}{2} \cdot 2N= \frac{3}{2} N.$$
Dopo aver aperto la busta \( A \), il valore atteso della seconda busta non cambia, anche se nel ragionamento originale del paradosso sembra non sia così. Calcolando il valore dell’importo atteso nella busta \( B \) si ottiene:
$$ \begin{array}
& E(B) &= E[B | A < B] P(A < B) + E[B |A > B] P(A > B) \\
&= E[2A|A < B] P(A < B) + E[\frac{1}{2} A|A > B] P(A > B) \\
&= E[2A| A < B] \frac{1}{2} + E[\frac{1}{2} A| A > B] \frac{1}{2} \\
&= 2 E[A| A < B] \frac{1}{2} + \frac{1}{2} E[A| A > B] \frac{1}{2} \\
&= E[A| A < B]+ \frac{1}{4} E[A| A > B] \\
&= N + \frac{1}{4} \cdot 2N = N + \frac{1}{2} \cdot N = \frac{3}{2} N. \\
\end{array}
$$
Il paradosso nasce dal fatto che gli importi di denaro inziali che possono essere trovati nelle due buste sono stati trattati come variabili casuali, ma in realtà sono dei valori fissi; infatti, dopo aver scelto una delle due buste, non vi è una probabilità pari a \( \frac{1}{2} \) che l’altra contenga il doppio o la metà del denaro della busta scelta, ma vi è una probabilità pari a \( 1 \) che ci sia quel determinato importo, a seguito della nostra scelta.