Il paradosso di San Pietroburgo è un paradosso legato al calcolo delle probabilità che descrive un gioco d’azzardo che ha, controintuitivamente, una vincita media di valore infinito. Ragionevolmente si considera accettabile giocare solamente una somma di denaro finita.
IN BREVE
IL PARADOSSO DI SAN PIETROBURGO
Il paradosso di San Pietroburgo venne inventato da Nicolas Bernoulli che lo enunciò per la prima volta nel 1713 in una lettera a Pierre Rémond de Montmort. Diversi matematici tentarono di dare una soluzione al paradosso e la prima soluzione completa venne proposta da Daniel Bernoulli e venne pubblicata all’interno dei Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg (da cui il paradosso prende nome) nel 1738. Questo paradosso venne proposto per contestare il concetto di speranza matematica che venne trattato da Christiaan Huygens in De ratiociniis in ludo aleae; ovvero che il valore atteso (o speranza matematica) viene considerata la somma giusta da pagare per partecipare a una scommessa.
Formulazione del paradosso
Il paradosso considera un ipotetico gioco d’azzardo, inerente alla scommessa di Testa o Croce derivante dal lancio di una moneta non truccata. Per la partecipazione ad ogni fase del gioco è previsto il pagamento di una quota \( N \). Per fase si intende il lancio di una singola moneta fino al termine del gioco; il gioco consiste nel lanciare una moneta finché non esce Croce, evento che causa il termine del gioco e la vincita dello stesso. La vincita dipende da quanti lanci precedono l’uscita di Croce: se esce Croce al primo lancio, la vittoria sarà di \( 1 \); ogni volta che esce Testa si raddoppia la vincita ad ogni lancio successivo. Quindi, alla fine si pagherebbe una quota iniziale pari ad \( N \) e si vincerebbe una somma pari a \( 2^{k-1} \), se Croce uscisse al \(k\)esimo lancio. Si può calcolare la probabilità che esca Croce al \(k\)esimo lancio, considerando che la moneta non sia truccata e che la probabilità di uscita di testa o croce sia identica e pari a \( \frac{1}{2} \), nel seguente modo:
$$
\begin{array}
&P(\mbox{Croce al kesimo lancio}) &= P(\mbox{Testa al primo lancio}) \cdot P(\mbox{Testa al secondo lancio}) \\ &\cdots P(\mbox{Testa al (k-1)esimo lancio}) \cdot P(\mbox{Croce al kesimo lancio}) \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2^k} \\
\end{array}
$$
Il valore atteso della vincita, ovvero la somma dei possibili valori assunti dalla variabile aleatoria ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi, risulta essere:
$$
\begin{array}
&E &= 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{8} + \cdots \\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{2^k} = + \infty \\
\end{array}
$$
La serie dell’ultimo passaggio è una serie geometrica divergente, ovvero si ottiene che il valore atteso è infinito e che quindi si dovrebbe offrire una qualunque cifra iniziale per parteciparvi; tuttavia il senso comune sconsiglia di partecipare al gioco qualora la quota di accesso fosse troppo alta.
Soluzione del paradosso
La formulazione del paradosso di San Pietroburgo sottintende che il banco abbia risorse illimitate, ma le risorse del banco sono limitate e, mentre il premio massimo cresce esponenzialmente, il valor medio cresce in modo logaritmico, molto più lentamente. Per questo motivo, l’aspettativa di vincita risulta essere molto più bassa rispetto al tetto massimo di vincita. Si consideri questo tetto massimo fissato con una certa somma \( T \), la somma massima che il banco possa permettersi di pagare, allora sicuramente ci possono essere un massimo, n, di Testa consecutive tali che \( 2^n=T \), dopo tale somma si dovrà fermare il gioco e ricominciare da capo. Quindi, calcolando il valore atteso:
$$ E= \sum_{k=1}^{n+1} P (\mbox{Croce al kesimo lancio}) \cdot 2^{k-1} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2^k} \cdot 2^{k-1} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}. $$
Quindi, poiché \( n= \log_2 T \) la vincita è proporzionale al logaritmo in base \( 2 \) del tetto massimo stabilito. Ad esempio, se si stabilisce un tetto massimo di \( 1000 \) euro, ci si aspetta una vincita pari a:
$$ E=\frac{\log_2 1000 + 1}{2}= 5,5 \mbox{ euro}. $$
Tuttavia questa soluzione non è molto soddisfacente, in quanto, fissando un tetto massimo di vincita, il problema posto inizialmente viene totalmente cambiato. Una soluzione alternativa venne proposta da Gabriel Cramer, matematico svizzero, che pose il limite sulla vincita e non sul tetto massimo, poiché arriverà un punto in cui raddoppiare la vincita oppure vincere una somma di denaro elevatissima sia equivalente per la persona in questione, ma non fu completamente soddisfatto della soluzione in quanto entra in gioco una componente di soggettività. La prima soluzione completa al problema venne proposta da Bernoulli. Egli affermò che ogni persona dà un valore diverso al denaro, in relazione a quanto l’individuo stesso ne possiede. Per questo motivo introdusse una funzione di utilità \( v(x)= \log(x) \). La funzione inversa alla funzione di utilità rappresenta la quantità di denaro che sarà il giusto prezzo da pagare per il gioco, ovvero l’equivalente certo. Nel caso di questo paradosso:
$$
\begin{array}
&E[\log(x)] &=\sum_{t=1}^{+ \infty} \log(2^t) \cdot \frac{1}{2^t} \\
&=\sum_{t=1}^{+ \infty} \log(2) \cdot \frac{t}{2^t} \\
&= \log(2) \sum_{t=1}^{+ \infty} \frac{t}{2^t} \\
&= \log(2) \cdot 2 = \log(2^2). \\
\end{array}
$$
Quindi il prezzo da pagare sarà la funzione inversa:
$$ \mbox{Prezzo da pagare} = e^{log(2^2)}=4.$$
Fonte
- Aldo Montesano PRINCIPI DI ANALISI ECONOMICA
Università Bocconi - Il paradosso di San Pietroburgo
Dipartimento di matematica Università di Pavia - Il paradosso di San Pietroburgo
MathematicalModelsTrento