Il metodo dell’angolo aggiunto è un metodo utilizzato per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno. Il metodo si basa sulle formule di addizione del seno e permette di scrivere un’equazione goniometrica lineare in un’equazione goniometrica elementare.
IN BREVE
EQUAZIONE GONIOMETRICA LINEARE
Un’equazione goniometrica lineare in seno e coseno è un’equazione dove le due funzioni goniometriche, \( \sin x \) e \( \cos x \) appaiono entrambe con grado \( 1 \) e dipendono dalla stessa incognita. Le equazioni lineari sono caratterizzate dalla seguente struttura:
$$ a \cdot \sin x + b \cdot \cos x + c = 0, $$
dove, \( a \) e \( b \) sono costanti diverse da \( 0 \), qualora una delle due fosse nulla si avrebbe un’equazione goniometrica fondamentale.

Metodo dell’angolo aggiunto
Il metodo dell’angolo aggiunto, o metodo dell’angolo ausiliario, si basa sulle formule di addizione del seno. Si ottiene dividendo inizialmente l’equazione goniometrica per \( R = \sqrt{a^2+b^2} \), quantità sempre diversa da \( 0 \) per le condizioni su \( a \) e \( b \):
$$ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \cos x + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0. $$
Quindi, poiché:
$$ \biggl(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2} } \biggr)^2+\biggl(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2} } \biggr)^2= \frac{a^2}{a^2+b^2} + \frac{b^2}{a^2+b^2}=1, $$
esiste un angolo, \( \alpha \), per cui \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) e \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Quindi con questa sostituzione, l’equazione iniziale diventa:
$$ \cos \alpha \cdot \sin x + \sin \alpha \cdot \cos x + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0. $$
Utilizzando le formule di addizione del seno, si ottiene:
$$ \sin (x + \alpha) = – \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = – \frac{c}{R}, $$
ovvero,
$$ R\sin (x + \alpha) = – c. $$
Per il calcolo di \( \alpha \) si può ricorrere all’utilizzo dell’arcotangente, sfruttando il fatto che \( \tan \alpha = \frac{ \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{b}{a} \) e quindi \( \alpha = \arctan \frac{b}{a} \).
Esempio
Si consideri l’equazione \( \sin x + \cos x + 1 = 0\). Per usare il metodo dell’angolo aggiunto dobbiamo calcolare \( R = \sqrt{a^2+b^2} \) e \( \alpha = \arctan \frac{b}{a} \), per poi poter riscrivere l’equazione goniometrica lineare come un’equazione goniometrica fondamentale equivalente in seno:
$$ R\sin (x + \alpha) = – c. $$
Quindi, \( R = \sqrt{1^2+1^2}= \sqrt{2} \) e \( \alpha = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \). L’equazione iniziale diventa quindi un’equazione goniometrica fondamentale:
$$ \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})=-1. $$
Per procedere alla risoluzione, si isola la funzione seno e si utilizza una variabile ausiliaria \( t = x + \frac{\pi}{4} \), in modo da ottenere:
$$ \sin t = – \frac{1}{\sqrt{2}}=- \frac{\sqrt{2}}{2}, $$
ovvero:
$$
\begin{array}
&t=\frac{5}{4} \pi + 2k\pi \\
t=\frac{7}{4} \pi + 2k\pi. \\
\end{array}
$$
Quindi, sostituendo al posto di \( t \) la sua espressione, si ottiene:
$$
\begin{array}
&x=\pi + 2k\pi, \\
x=\frac{3}{2} \pi + 2k\pi, \\
\end{array}
$$
che sono le soluzioni dell’equazione iniziale.
Fonte
- Manuale blu 2.0 di matematica 3B PLUS
Zanichelli