Equazioni esponenziali: tipologie e risoluzione

COME RISOLVERE LE EQUAZIONI ESPONENZIALI?

Per risolvere un’equazione esponenziale l’obiettivo è quello di ricondursi ad una forma del tipo \( a^x=b \), successivamente si cerca di ricondurre \( b \) ad \( a \), in modo da ottenere un’equazione del tipo \( a^x=a^n \), ovvero a potenze con la stessa base. Quindi a questo punto si può procedere alla soluzione uguagliando gli esponenti, ovvero \( x=n \). Se non è possibile ricondurre \( b \) ad \( a \) si può risolvere l’equazione facendo ricorso alla funzione inversa dell’esponenziale, ovvero il logaritmo: \( a^x=b \) se e solo se \( x=\log_a b \). Per calcolare le soluzioni, altrimenti, si può fare riferimento al metodo grafico, soprattutto nel caso di equazioni trascendenti, ovvero trovando i punti di intersezione tra le funzioni.

Prerequisiti

Per risolvere le equazioni esponenziali potrebbe essere utile conoscere alcune proprietà matematiche di base:

• Prodotto di potenze con la stessa base $$a^n \cdot b^m = a^{n+m},$$
• Rapporto di potenze con la stessa base $$\frac{a^n}{b^m} = a^{n-m} \,\,\, \mbox{  con } a \neq 0 \mbox{ e } n \leq m,$$
• Potenza di potenza $$ (a^n)^m=a^{n\cdot m}, $$
• Prodotto di potenze con lo stesso esponente $$a^n \cdot b^n=(a\cdot b)^n, $$
• Rapporto di potenze con lo stesso esponente $$\frac{a^n}{b^n}=\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^n \,\,\, \mbox{  con } b \neq 0, $$
• Potenze con esponente negativo $$ \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^n = \biggl(\frac{b}{a}\biggr)^{-n} \,\,\, \mbox{  con } a,b \neq 0,$$
• Potenza con esponente frazionario $$ \sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n}, \,\,\, n,m \in \mathbb{Z}, $$
• Potenze con esponente nullo $$a^0=1 \,\,\, \mbox{  con } a \neq 0.$$

Equazioni esponenziali semplici

Rientrano nella categoria equazioni esponenziali semplici tutte quelle equazioni che si possono scrivere come potenze di base uguale. Quindi, di fronte a un’equazione esponenziale, bisogna cercare di ricondurre entrambi i membri come potenze della stessa base. Ad esempio, si consideri l’equazione
$$ 2^x=\frac{\sqrt[3]{2}}{16}. $$
Per risolverla si deve cercare di scrivere il membro di destra in base \( 2 \), nel seguente modo:
$$ \begin{array}
&2^x=\frac{2^\frac{1}{3}}{2^4}, \\
2^x=2^{\frac{1}{3}-4}, \\
2^x=2^{-\frac{11}{3}}. \\
\end{array}
$$
A questo punto, uguagliando gli esponenti, si ottiene la soluzione: \( x=-\frac{11}{3} \).
Un’altra possibile equazione in cui ci si può ricondurre a potenze con la stessa base, è fornita dal seguente esempio. Si consideri l’equazione esponenziale
$$ 2^x – 2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x+2} = 54. $$
Per risolverla bisogna cercare di raccogliere nel primo membro \( 2^x \) e cercare di ricondurre tutti i termini in base \( 2 \):
$$ \begin{array}
&2^x-2^x \cdot 2^{-1} + 3 \cdot 2^x \cdot 2^2 = 54, \\
2^x(1-2^{-1}+3 \cdot 4) = 54, \\
2^x(1-\frac{1}{2}+13) = 54, \\
2^x\frac{27}{2} = 54, \\
2^x= 54 \cdot \frac{2}{27}, \\
2^x= 2 \cdot 2, \\
2^x= 2^2, \\
x=2. \\
\end{array}
$$
Per la risoluzione di questa equazione sono state utilizzate alcune proprietà sopra elencate. In questa categoria rientra anche un’altra tipologia di equazioni sempre riconducibili alla stessa base. Si consideri l’equazione
$$ 25 \cdot 2^x = 4 \cdot 5^x.$$
Per raggiungere la stessa base, si deve isolare l’incognita:
$$ \begin{array}
&\frac{2^x}{5^x}=\frac{4}{25}, \\
\bigl(\frac{2}{5}\bigr)^x=\bigl(\frac{2}{5}\bigr)^2, \\
x=2. \\
\end{array}
$$

Equazioni risolubili con l’utilizzo di un’incognita ausiliaria

In questa categoria di equazioni, si ha un esponenziale che appare con un’incognita diversa da un altro, come ad esempio nella seguente equazione:
$$ 3^x+3^{1-x}=4. $$
Qui per risolvere l’equazione bisogna inizialmente cercare di rendere \( 3^{-x} \) con esponente positivo:
$$ \begin{array}
&3^x+3 \cdot 3^{-x}= 4, \\
3^x+ \frac{3}{3^x}= 4, \\
\frac{3^x \cdot 3^x + 3}{3^x}=4, \\
\frac{3^{2x} + 3}{3^x}=4. \\
\end{array}
$$
A questo punto si utilizza una variabile ausiliaria, ovvero si applica la seguente sostituzione: \( t=3^x \). Quindi:
$$ \begin{array}
&\frac{t^2+3}{t}=4, \\
t^2 +3-4t=0, \,\,\, t\neq 0.\\
\end{array}
$$
Ora si procede trovando le soluzioni dell’equazione di secondo grado (per approfondire i metodi di risoluzione: equazioni di secondo grado), che risultano essere rispettivamente \( t_1=1 , t_2=3 \). A questo punto si sostituisce al posto di \( t \) la sua espressione:
$$ \begin{array}
&t_1=1 \rightarrow 3^x=1 \rightarrow 3^x=3^0 \rightarrow x=0,\\
t_2=3 \rightarrow 3^x=3 \rightarrow x=1.\\
\end{array}
$$
Quindi \( 0 \) e \( 1 \) sono le soluzioni cercate.

Equazioni esponenziali risolubili mediante i logaritmi

Nel caso in cui non sia possibile ricondurre i due termini alla stessa base, si ricorre alla funzione inversa dell’esponenziale, ovvero il logaritmo. Ad esempio si consideri la seguente equazione esponenziale:
$$ 3^x=5. $$
Risolviamo l’equazione applicando la funzione logaritmo:
$$ \log 3^x = \log 5,$$
a questo punto, utilizzando una proprietà dei logaritmi, ovvero \( \log_a b^k=k \cdot \log_a b \), l’equazione si può scrivere nel seguente modo:
$$x \log 3 = \log 5,$$
da cui la soluzione \( x= \frac{\log 2}{\log 5} \).