Le frazioni sono molto usate nella quotidianità da tutti e nei più svariati ambiti. Hanno origini antichissime e delle proprietà interessanti. Sono un modo per esprimere un rapporto tra due numeri, di cui, il numero al denominatore deve essere diverso da 0.
IN BREVE
Indice
STORIA DELLE FRAZIONI
Le origini delle frazioni sono molto antiche: alcuni documenti storici, risalenti agli antichi Egizi nel XVII secolo a.C., attestano l’utilizzo di un rapporto numerico per esprimere i sottomultipli delle unità di misura nei rapporti commerciali con le antiche civiltà. Per scrivere le frazioni unitarie (frazioni con numeratore pari a \( 1 \)), gli Egizi posizionavano un geroglifico al di sopra di un numero per indicarne il reciproco ed esprimevano i numeri razionali come somma di frazioni unitarie, ad esempio \( \frac{5}{7}=\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{21} \). Quindi la somma di frazioni unitarie distinte prende il nome di frazione egiziana e ogni numero razionale positivo è esprimibile mediante una frazione egiziana, in infiniti modi. L’uso della frazione presso gli antichi egizi veniva utilizzata per esprimere le parti dell’unità di misura della capacità, l’hegat, pari a \( 4,875 \) litri. Nel Medioevo comincia ad apparire la scrittura per esprimere le frazioni più simile a quella usata al giorno d’oggi, ma è dovuta a Fibonacci la scrittura utilizzata oggi (con la linea di frazione orizzontale) e la lettura delle frazioni del numeratore con un numero cardinale e del denominatore con un numero ordinale, ad esempio \( \frac{2}{5} \) viene letto come “due quinti”. Nella sua opera “Liber abaci” del 1202, utilizza i termini “fracti” o “rupti” per riferirsi alle frazioni e “virgula” per il tratto orizzontale.
COSA SONO LE FRAZIONI?
Le frazioni sono un modo per esprimere il rapporto tra due numeri. Infatti, data una coppia ordinata di numeri \( a\) e \( b \mbox{ , con } b \neq 0 \), si definisce frazione
$$ \frac{a}{b}. $$
Il numero situato al di sopra della linea di frazione, \( a \), prende il nome di numeratore, mentre il numero che si trova al di sotto della linea di frazione, \( b \), prende il nome di denominatore. Il denominatore deve necessariamente essere diverso da \( 0 \), in quanto in matematica non è possibile dividere per \( 0 \).
In generale ogni elemento dell’insieme dei numeri razionali, \( \mathbb{Q} \), è esprimibile mediante una frazione. Anche i numeri periodici fanno parte dei numeri razionali, infatti sono esprimibili mediante una frazione (per saperne di più numeri decimali periodici).
Classificazione delle frazioni
In base alla relazione che intercorre tra il numeratore e il denominatore di un numero razionale è possibile effettuare la seguente classificazione:
- frazioni proprie, sono frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore \( (a<b) \). Sono caratterizzate dal fatto che il loro modulo (ovvero il valore del quoziente preso con il segno positivo) è sempre minore di \( 1 \), ovvero \( |\frac{a}{b}|<1 \). Sono un esempio di frazioni proprie \( \frac{1}{6} \) oppure \( \frac{5}{7} \);
- frazioni improprie, sono frazioni in cui il numeratore è maggiore del denominatore \( (a>b) \). Sono caratterizzate dal fatto che il loro modulo (ovvero il valore del quoziente preso con il segno positivo) è sempre maggiore di \( 1 \), ovvero \( |\frac{a}{b}|>1 \). Sono un esempio di frazioni improprie \( \frac{7}{6} \) oppure \( \frac{10}{7} \);
- frazioni apparenti, sono frazioni in cui il numeratore è uguale o multiplo del denominatore \( (a=b \) oppure \( k \cdot a =b) \). Sono caratterizzate dal fatto che il valore del loro quoziente è un numero intero. Sono un esempio di frazioni proprie \( \frac{6}{6}=1 \) oppure \( \frac{15}{5}=3 \).
Frazioni ridotte ai minimi termini
Quando in una frazione sia il numeratore che il denominatore hanno un divisore in comune, è possibile applicare la proprietà invariantiva dividendo sia il numeratore che il denominatore per il divisore in comune.
$$ \frac{a}{b}=\frac{a:x}{b:x} $$
La frazione è ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore non hanno divisori in comune. Ad esempio considerando \( \frac{30}{12} \) posso scrivere
$$ \frac{30}{12} = \frac{30:2}{12:2} = \frac{15}{6} = \frac{15 :3}{6:3} =\frac{5}{2}; $$
poiché \( 5 \) e \( 2 \) non hanno più divisori comuni, la frazione è ridotta ai minimi termini.
Una frazione non ridotta ai minimi termini, con la corrispettiva frazione ridotta ai minimi termini, seppur scritte in modo diverso, rappresentano la stessa quantità, infatti sono dette frazioni equivalenti. Nell’esempio precedente le frazioni \( \frac{30}{12} \), \( \frac{15}{6} \) e \( \frac{5}{2} \) sono tutte tra loro equivalenti.
Data una frazione, per ottenere immediatamente la frazione ridotta ai minimi termini basta dividere sia il numeratore che il denominatore per il massimo comun divisore tra i due. Nell’esempio precedente per ridurre direttamente ai minimi termini avrei potuto dividere direttamente il numeratore e il denominatore per il massimo comun divisore tra \( 30 \) e \( 12 \), ovvero \( 6 \) e ottenere:
$$ \frac{30}{12} = \frac{30:6}{12:6} = \frac{5}{2}. $$
Confronto tra frazioni
Un metodo spesso utilizzato per confrontare tra di loro due rapporti numerici richiede che le frazioni siano ridotte ad un denominatore comune. Ridurre due frazioni, \( \frac{a}{b} \) e \( \frac{c}{d} \), a denominatore comune significa trovare due frazioni equivalenti con lo stesso denominatore:
$$ \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{c \cdot h}{d \cdot h} \mbox{ con } k \neq 0 \mbox{ e } h \neq 0 \mbox{ e } b\cdot k=d \cdot h. $$
Per ridurre due frazioni allo stesso denominatore basta calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori e applicare la proprietà invariantiva. Una volta ridotte allo stesso denominatore, il numero razionale che ha per numeratore il valore più grande sarà maggiore dell’altra. Ad esempio, se io volessi confrontare le frazioni \( \frac{5}{6} \) e \( \frac{7}{8} \), dovrei:
- calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori \( 6 \) e \( 8 \), ovvero \( 24 \);
- portare entrambe le frazioni allo stesso denominatore, \( 24 \), applicando la proprietà invariantiva su entrambe le frazioni (per capire il numero per il quale moltiplicare sia il numeratore che il denominatore della singola frazione devo dividere il minimo comune multiplo per il denominatore della stessa e poi moltiplicare il numeratore e il denominatore per quel valore), ovvero
$$ \frac{5}{6}=\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} =\frac{20}{24}; $$
$$ \frac{7}{8} = \frac{7\cdot 3}{8 \cdot 3} =\frac{21}{24}. $$ - una volta portate a denominatore comune, confronto il valore dei numeratori, ovvero \( \frac{21}{24} > \frac{20}{24} \), ovvero
$$ \frac{7}{8} > \frac{5}{6}. $$
Si può utilizzare questo metodo per mettere a confronto anche più di due frazioni.
Addizione e sottrazione
Per addizionare o sottrarre due rapporti numerici si procede nel seguente modo a seconda dei casi:
- se le frazioni hanno lo stesso denominatore, la somma algebrica sarà una frazione che ha per numeratore la somma algebrica dei numeratori e per denominatore il denominatore stesso, quindi, date \( \frac{a}{b} \) e \( \frac{c}{b} \), con \( b \neq 0 \),
$$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{a+b}{c}. $$
Ad esempio
$$ \frac{2}{5} + \frac{7}{5}=\frac{9}{5} $$
Oppure
$$\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$ - se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, prima di procedere con l’addizione o la sottrazione, si devono portare allo stesso denominatore calcolando il minimo comune multiplo. Quindi, ad esempio, data
$$\frac{2}{3}+\frac{7}{5}, $$
Si identifica il minimo comune multiplo tra i denominatori, ovvero\( 3 \cdot 5= 15 \) e si procede inserendo al denominatore di un’unica frazione il minimo comune multiplo trovato. Il numeratore invece sarà costituito dalla somma algebrica dei singoli numeratori trovati dividendo il minimo comune multiplo per ogni denominatore e moltiplicando quanto ottenuto per ogni numeratore. Nell’esempio, \( 15 : 3 \cdot 2 =10 \) e \( 15:5 \cdot 7 =21 \). Ovvero:
$$\frac{15:3 \cdot 2 +15:5 \cdot 7}{15}=\frac{10+21}{15}=\frac{31}{15}.$$
Un altro esempio può essere il seguente:
$$ \frac{2}{3}-\frac{1}{12}+\frac{3}{4}. $$
Si calcola il minimo comune multiplo tra i denominatori, ovvero \(12\) e si procede come sopra:
$$\frac{2}{3}-\frac{1}{12}+\frac{3}{4}=\frac{8-1+9}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.$$
Moltiplicazione e divisione
Il prodotto di due rapporti numerici è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Ad esempio
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{15}. $$
Più in generale, date \( \frac{a}{b} \) e \( \frac{c}{d} \) con \( b,d \neq 0 \) si ha che:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}.$$
Se il numeratore di una frazione ha divisori in comuni con un denominatore di un’altra, è possibile dividere entrambi per il massimo comune divisore prima o dopo aver moltiplicato le frazioni, ad esempio:
$$ \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}=\frac{5:5}{6:3} \cdot \frac{3:3}{10:5}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}; $$
Oppure
$$ \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}= \frac{15}{60}= \frac{15:15}{60:15}=\frac{1}{4}.$$
Il rapporto tra due frazioni invece si ottiene moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda (il reciproco di \( \frac{a}{b}=\frac{b}{a} \)). Ad esempio
$$\frac{2}{3} : \frac{7}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}=\frac{10}{21}. $$
Più in generale, date \( \frac{a}{b} \) e \( \frac{c}{d} \) con \( b,d,c \neq 0 \) si ha che:
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{a \cdot d}{b \cdot c}.$$
Una volta trasformata la divisione in moltiplicazione si procede come sopra.
Potenza
La potenza di un rapporto numerico è il prodotto per sé stessa di una frazione tante volte quante indicate dall’esponente, ovvero:
$$\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^3=\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}. $$
La potenza di una frazione è una frazione che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore, ovvero:
$$\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^3=\frac{2^2}{3^2}. $$
Più in generale, data \( \frac{a}{b} \) con \( b \neq 0 \) e \( si ha che:
$$\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^n=\frac{a^n}{b^n}. $$
Potenza con esponente negativo
La potenza di un numero razionale con esponente intero negativo è una potenza che ha per base il reciproco della frazione e per esponente l’opposto dell’esponente, ovvero:
$$\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{-2}=\biggl(\frac{3}{2}\biggr)^2. $$
Quindi se si ha una potenza con esponente negativo è sufficiente scambiare il numeratore con il denominatore eliminando il segno meno dall’esponente.
Più in generale, data [latex] \frac{a}{b} \) con \( a,b \neq 0 \) e \( n \in \mathbb{N} \) si ha che:
$$\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-n}=\biggl(\frac{b}{a}\biggr)^n. $$
Quindi, ad esempio
$$ k^{-1}=\biggl(\frac{1}{k}\biggr)^1=\frac{1}{k}.$$
Fonte
- Le frazioni
Andrea Minini - Matematica multimediale.blu 1 – I numeri razionali e i numeri reali
Zanichelli