I numeri decimali periodici sono numeri razionali che quando sono espressi in forma decimale hanno una sequenza di cifre dopo la virgola che, da un certo punto in poi, si ripete, uguale a sé stessa, all’infinito. Ogni numero periodo può essere rappresentato mediante una frazione.
IN BREVE
Indice
COSA SONO I NUMERI DECIMALI PERIODICI?
I numeri periodici fanno parte dell’insieme dei numeri razionali, \( \mathbb{Q} \), e sono caratterizzati dal fatto che, nella rappresentazione decimale, sono costituiti da una stringa di cifre, dopo la virgola, che si ripete, uguale a sé stessa, all’infinito. Queste cifre che si ripetono all’infinito prendono nome di periodo; qualora il numero sia caratterizzato da una o più cifre, dopo la virgola, che non si ripetono, esse prendono il nome di antiperiodo. Ad esempio il numero \( 1,2\bar{34} \) è un numero periodico caratterizzato da un periodo, \( 34 \) e da un antiperiodo \( 2 \). Ogni numero decimale periodico può essere espresso mediante una frazione, quindi in realtà, qualunque numero con parte decimale finita può essere espresso mediante un numero periodico con periodo nullo, ovvero \( 1,2= 1,2\bar{0} \). I numeri decimali periodici si dividono in due gruppi:
- semplici, se nono hanno un antiperiodo, ovvero dopo la virgola vi è subito il periodo (come ad esempio \( 1,\bar{4} \);
- misti, se il numero periodico presenta un antiperiodo, ovvero dopo la virgola vi è una sequenza di numeri che non si ripete prima della sequenza che si ripete all’infinito (come ad esempio \( 3,23\bar{7} \).
Funzione generatrice di un numero decimale periodico
Ogni numero decimale periodico ha una sua funzione generatrice, che consente di esprimere il numero mediante una frazione. Per calcolare la funzione generatrice si deve procedere nel seguente modo:
- Si considera il numero decimale periodico senza virgola e si sottraggono al numero tutte le cifre che precedono il periodo;
- Si divide il risultato ottenuto nel punto precedente per un numero composto da tanti \( 9 \) quante sono le cifre del periodo, seguito da tanti \( 0 \) per ogni cifra dell’antiperiodo.
Ad esempio, si consideri il numero periodico semplice \( 7,\bar{4} \). Per calcolare la sua funzione generatrice si procede nel seguente modo: si sottrae al numero senza virgola la cifra che precede il periodo
$$ 74-7, $$
si divide il risultato per un numero composto da tanti \( 9 \) quante sono le cifre del periodo, seguito da tanti \( 0 \) per ogni cifra dell’antiperiodo, ovvero
$$ \frac{67}{9}=7,44444 \ldots.$$
si consideri il numero periodico misto \( 7,21\bar{4} \). Per calcolare la sua funzione generatrice si procede nel seguente modo: si sottrae al numero senza virgola la cifra che precede il periodo
$$ 7214-721, $$
si divide il risultato per un numero composto da tanti \( 9 \) quante sono le cifre del periodo, seguito da tanti \( 0 \) per ogni cifra dell’antiperiodo, ovvero
$$ \frac{6493}{900}=7,2144444 \ldots.$$
Il numero periodico \( 0,\bar{9} \)
Il numero periodico \( 0,\bar{9} \) ha lo stesso significato del numero reale \( 1\). Se si procede, come per un qualunque numero periodico, a calcolare la sua funzione generatrice si ottiene:
$$ \frac{9-0}{9}=1.$$
Una dimostrazione che il numero \( 0,99999 \ldots \) denoti il numero reale \( 1 \) è la seguente:
$$
\begin{array}
&n &=0,\bar{9} \\
10 \cdot n &= 9,\bar{9} \\
10 \cdot n – n &= 9,\bar{9} – 0,\bar{9} \\
9 \cdot n &= 9 \\
n &=1. \\
\end{array}
$$
Esistono diverse dimostrazioni di questa non unicità di rappresentazione del numero reale \( 1 \), inoltre il discorso si presenta in tutte le basi intere, quindi non è legato solamente alla base decimale.
Fonte
- Rappresentazione decimale dei numeri razionali.
Uniroma 2 - I numeri decimali
DIMA Unige