Equazioni lineari: risoluzione e approfondimenti

EQUAZIONI LINEARI IN PIÙ INCOGNITE

Un’equazione lineare a \( n \) incognite è un’espressione del tipo:
$$ a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n+k=0,$$
in cui \( n \in \mathbb{Z}, n \geq 1,\) \( a_1, a_2, \ldots, a_n, k \in \mathbb{R} \) e \((x_1, x_2, \ldots, x_n) \) sono le incognite dell’equazione lineare di primo grado. La soluzione dell’equazione sarà composta da una n-pla ordinata di valori \( t_1, t_2, \ldots, t_n \) tale che, se sostituita ordinatamente nell’equazione di partenza darà luogo ad un’uguaglianza. Un’equazione lineare in due incognite in geometria analitica rappresenta una retta, \( ax+by+c=0 \) e le soluzioni dell’equazione lineare saranno le coppie ordinate di valori \( (x_P,y_P) \) che identificano tutti i punti di cui è costituita la retta, quindi le soluzioni sono infinite. Nello spazio tridimensionale invece, un’equazione lineare in tre incognite, ovvero \( ax+by+cz+d=0\), rappresenta un piano. In generale, in uno spazio di dimensione \( n \), le soluzioni di un’equazione lineare rappresentano un iperpiano, ovvero uno spazio di dimensione \( n-1 \).

EQUAZIONI LINEARI IN UNA INCOGNITA

Il caso più semplice delle equazioni lineari sono le equazioni lineari in una incognita, che possono essere ricondotte alla seguente forma normale:
$$ax+b=0,$$
dove \( a,b \) sono numeri reali o complessi. Se \( a \neq 0 \), un’equazione lineare di primo grado in un’incognita ammette una e una sola soluzione, quindi un punto. Per trovare la soluzione dell’equazione si deve isolare il termine con l’incognita, ovvero \( ax\), trasportando \( b \) al secondo membro e poi dividere per \( a\); si ottiene quindi:
$$ x=-\frac{b}{a}. $$
Quindi se \( a \neq 0 \) l’equazione è determinata e ammette un’unica soluzione \( x=-\frac{b}{a} \). Se \( a= 0 \) si possono prospettare due casi:

• Se \( b \neq 0 \) allora l’equazione diventa \(0=b \), ovvero non è mai verificata; quindi l’equazione è impossibile e non ammette soluzioni;
• Se \( b = 0 \) allora l’equazione diventa \(0=0 \), ovvero ammette soluzione indipendentemente dall’incognita; quindi l’equazione è indeterminata e ammette un numero infinito di soluzioni.

Risoluzione delle equazioni lineari in una incognita

In matematica due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Per risolvere un’equazione l’obiettivo è di sostituirla con equazioni equivalenti via via più semplici, fino ad arrivare ad un’equazione del tipo \( ax=b \), di cui è facile calcolarne la soluzione. Per fare ciò si utilizzano due principi di equivalenza:

• il primo principio di equivalenza afferma che si ottiene un’equazione equivalente all’equazione data se si aggiunge o si sottrae, ad entrambi i membri di un’equazione, la stessa quantità.
• il secondo principio di equivalenza afferma che si ottiene un’equazione equivalente all’equazione data se si moltiplica o si divide, ad entrambi i membri di un’equazione, la stessa quantità diversa da zero.

Utilizzando questi due principi, si riesce, tramite equazioni equivalenti, a trovare la soluzione cercata. Ad esempio, si consideri la seguente equazione lineare in una incognita:
$$ 2x+8=-x-5;$$
per arrivare ad una equazione del tipo \( ax=b \) è necessario spostare i termini contenenti le incognite al primo membro (l’espressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza) e i termini che non contengono l’incognita al secondo membro (l’espressione che si trova a destra del simbolo di uguaglianza). Per fare ciò si utilizza il primo principio di equivalenza, ovvero si sottrae \( 8 \) e si somma \( x \) ad entrambi i membri nel seguente modo:
$$2x+8-8+x=-x+x-5-8;$$
in questo modo i termini opposti si annullano e si ottiene la seguente equazione equivalente:
$$2x+x=-5-8.$$
Ora si procede sommando i termini simili:
$$3x=-12.$$
A questo punto si ha un’equazione numerica semplice ed è possibile calcolare la soluzione mediante il secondo principio di equivalenza, ovvero dividendo entrambi i membri per \(3 \):
$$ \frac{3x}{3}=-\frac{12}{3}. $$
A questo punto si effettuano i calcoli e si ottiene la soluzione cercata, ovvero \( x=-4 \).