Successione di Fibonacci: applicazioni e curiosità

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

In matematica la successione di Fibonacci, detta anche successione aurea, indica una successione di numeri naturali, definita in modo ricorsivo, dove, per definizione, i primi due termini sono pari a 0 ed 1 e i termini successivi sono dati dalla somma dei due precedenti:
$$ \begin{cases}
F_0 = 0 \\
F_1 = 1 \\
F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ se } n>1
\end{cases} $$
Gli elementi \( F_n \) sono detti numeri di Fibonacci. Il matematico, nel suo Liber Abaci, considera la crescita di una popolazione di conigli biologicamente irrealistica e assume che: una coppia di conigli appena nati venga messa in un campo; ogni coppia diventi fertile all’età di un mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; i conigli non muoiano mai, ma continuino a riprodursi per sempre. Dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, dopo due mesi vi saranno due coppie di cui una fertile (quella iniziale) e una non fertile. Alla fine del terzo mese, la coppia originale produrrà una seconda coppia, vi saranno tre coppie, di cui due fertili; quindi alla fine del quarto mese si avranno cinque coppie, di cui tre fertili e così via. Elencando il numero di coppie di conigli ogni mese, si ottiene la successione di Fibonacci: \( 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … \).

PROPRIETÀ

La successione di Fibonacci ha delle proprietà matematiche molto interessanti, tra le quali:

• Il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi \(\frac{F_n}{F_{n-1}}\), per \(n\) che tende all’infinito, tende al numero aureo, o sezione aurea, o rapporto aureo, \(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}  = 1,618033…\). Infatti:

$$\begin{eqnarray}
&& \frac{F_3}{F_2} = 2;\\
&& \frac{F_4}{F_3} = \frac{3}{2} = 1,5;\\
&& \frac{F_5}{F_4} = \frac{5}{3} = 1,\bar{6};\\
&& \frac{F_6}{F_5} = \frac{8}{5} = 1,6;\\
&& \frac{F_7}{F_6} = \frac{13}{8} = 1,625;\\
&& \frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} = 1,\overline{615384};\\
&& …
\end{eqnarray} $$

• La successione di Fibonacci si può ottenere sommando i termini presenti su ciascuna “diagonale” del triangolo di Tartaglia.
• Due numeri di Fibonacci consecutivi sono coprimi, ovvero non hanno fattori in comune.
• Ogni numero di Fibonacci può essere calcolato sommando tutti i numeri che lo precedono, tranne l’ultimo, e sommando 1.
• Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo numero per il quarto è uguale al prodotto degli altri due diminuito o aumentato di 1.
• John H. E. Cohn nel 1963 dimostrò che gli unici numeri di Fibonacci che sono anche dei quadrati sono 0,1 e 144.
• Il teorema di Carmichael afferma che per ogni \( n > 12 \), esiste un fattore primo del numero della successione di Fibonacci \( F_n \) che non è mai apparso come fattore dei numeri della successione prcedenti.
• Esiste una formula generale, la formula di Binet, per ricavare un generico termine della successione di Fibonacci:
  $$ F_n = \frac{\phi^n –(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} $$
• Per ogni \( m, n, r \in \mathbb{N} \) opportuni, valgono le seguenti identità:
  • Identità di Catalani: \( F^2_n – F_{n-r} \cdot F_{n+r} = (-1)^{n-r} \cdot F^2_r \);
  • Identità di Cassini: \( F^2_n – F_{n-1} \cdot F_{n+1} = (-1)^{n-1} \);
  • Identità di d’Ocagne: \( F_m F_{n+1} – F_{m+1} F_n = (-1)^n F_{m-n} \).

• A partire dalla successione di Fibonacci, mediante l’utilizzo di riga e compasso, è possibile disegnare, con buona approssimazione, la spirale aurea. Questa curva ricorre spesso in natura, infatti è possibile osservarla nelle conchiglie, in alcune piante e anche nella struttura degli alveari. Anche la forma del Nautilus ricorda la spirale aurea.
• I numeri di Fibonacci sono un esempio di sequenza completa, ovvero qualunque numero intero positivo può essere scritto mediante la somma di numeri appartenenti alla successione evitando ripetizioni.

Sezione aurea

Il numero \(\phi\), chiamato sezione aurea o rapporto aureo, può essere ottenuto a partire da un segmento qualsiasi \( AB \) di lunghezza \( a \), prolungandolo, in modo da ottenere un nuovo segmento \( AC \) che rispetti la seguente proporzione:
$$ AC : AB = AB : BC $$
Per fare questo si pone \( AC = x \) e di conseguenza \( BC = x-a \), quindi la precedente relazione può essere scritta:
$$ x : a = a : (x-a) $$
Sapendo che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, si ottiene la relazione \( x \cdot (x-a) = a \cdot a \), ovvero
$$ x^2-ax-a^2 =0 $$
Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottengono due soluzioni: \( x_1 = a \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) e \( x_2 = a \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2} \). Poiché \( x \) rappresenta la lunghezza di un segmento, quindi deve essere una grandezza positiva e \( x_2 < 0 \), solo \( x_1 = a \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) è accettabile.
Il rapporto aureo è definito come il rapporto \(\phi=\frac{x_1}{a}\), cioè:
$$ \phi = \frac{ a \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}}{a}= \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$
Questo numero ha moltissime proprietà:

• Il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare è uguale \(\phi\)
• Il quadrato di \(\phi\) è uguale a \(\phi\) aumentato di 1:
  $$\phi^2= \bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigr)^2 = \frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}=\frac{4+2+2\sqrt{5}}{4}=1+ \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\phi $$
• Il reciproco di \(\phi\) è uguale a \(\phi\) diminuito di 1:
  $$ \frac{\phi^2}{\phi} = \frac{\phi +1}{\phi} \; \; \Rightarrow \;\; \phi= 1 + \frac{1}{\phi} \; \; \Rightarrow \; \; \frac{1}{\phi} = \phi -1 $$
• Vale la seguente uguaglianza per tutte le \(n \in \mathbb{N}\): $$ \phi^{n+1} = \phi^n + \phi^{n-1}$$
• \(\phi\) è un numero irrazionale e può essere rappresentato con una frazione continua infinita: $$  \phi = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}}}}}} $$Troncando la frazione continua e svolgendo i calcoli, si ottengono le frazioni con denominatore e numeratore i numeri della successione di Fibonacci che approssimano il numero aureo.

APPLICAZIONI DELLA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

I numeri di Fibonacci compaiono molto spesso in matematica, tuttavia vengono trovati frequentemente anche in molti altri ambiti e le sue applicazioni sono molto spesso collegate alla sezione aurea.

Natura

In natura, in quasi tutti i fiori il numero di petali è un termine appartenente alla successione di Fibonacci: ad esempio gigli e iris ne hanno tre, i ranuncoli e le rose canine cinque, la calendula tredici e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque. I numeri di Fibonacci si trovano anche nelle ramificazioni degli alberi o nella disposizione delle foglie lungo uno stelo, infatti le foglie si dispongono secondo una spirale in cui l’angolo tra due foglie successive è costante e pari a 137,5 gradi; questo angolo, corrispondente all’angolo aureo, garantisce la recezione della luce del sole in modo uniforme e ottimale. Le sequenze di Fibonacci compaiono in numerosi altri contesti biologici, come ad esempio nel numero di inflorescenze di alcuni ortaggi, come ad esempio il broccolo romanesco; nelle squame che rivestono l’ananas; o ancora nell’albero genealogico delle api. Charles Bonnet scoprì nel 1754 che la fillotassi a spirale di alcune piante, come ad esempio il girasole, era spesso espressa in serie di numeri di Fibonacci. Nel corpo umano invece, si incontrano i numeri di Fibonacci in diverse occasioni: Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto, il rapporto tra la lunghezza del braccio e dell’avambraccio e il rapporto tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore tendono al numero aureo, come accade per i numeri molto grandi della successione. Anche il rapporto tra le fasi cardiache diastolica e sistolica è prossimo al rapporto aureo. A livello microscopico è stato riscontrato che i percorsi delle tubuline sui microtubuli intracellulari si dispongono in schemi di 3, 5, 8 e 13.

Musica

Molto spesso l’equilibrio armonico che emerge nella musica classica, pare sia il risultato dell’uso più o meno consapevole della sezione aurea. A partire dal XX secolo, la sezione aurea si è ampiamente diffusa in ambito musicale e molti musicisti, tra cui Claude Debussy e Igor’ Fëdorovič Stravinskij hanno utilizzato la proporzione aurea nelle loro opere. Nel Novecento molti musicisti avanguardisti, tra cui Karlheinz Stockhausen, György Ligeti e Iannis Xenakis, applicarono intenzionalmente i numeri di Fibonacci nella musica; infatti a Parigi, con lo scopo di applicare le conoscenze scientifiche e matematiche alla musica, nasce, alla fine del 1900, un gruppo di ricerca universitario, il Centre d’Études de Mathématique et Automatique Musicales. Anche il rock progressivo si è confrontato con la sezione aurea: in particolare, i Genesis hanno usato assiduamente la successione nella costruzione dei loro brani. Ad esempio il loro brano Firth of Fifth presenta assoli di 13, 34 e 55 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note. Oltre ai Genesis, anche altre band rock hanno usato sporadicamente numeri appartenenti alla successione di Fibonacci nelle loro produzioni: i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell’album Octavarium. Nel 2001 invece, la band statunitense Tool incide il brano Lateralus costruito sulla successione di Fibonacci: contando le sillabe della prima strofa si ottiene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, ecc. e il brano presenta continui riferimenti alla spirale. Anche la conformazione strutturale di alcuni strumenti musicali, ad esempio la tastiera del pianoforte o la cassa armonica del violino, è ricollegabile ai numeri di Fibonacci: nel pianoforte i tasti delle ottave sono tredici, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti; 2, 3, 5, 8, 13.

Arte

In ambito artistico la sezione aurea era associata alle divine proporzioni e quindi influenzò moltissimo la cultura greca e quella rinascimentale,  già dal I secolo a.C. Vitruvio, un architetto romano, aveva studiato quali dovevano essere le proporzioni ideali, facendo degli studi sul corpo umano. Molti architetti e scultori utilizzarono questa proporzione nelle loro opere: le dimensioni del Partenone seguono le proporzioni del rettangolo aureo (rettangolo in cui rapporto tra le dimensioni dei lati consecutivi è pari alla sezione aurea), molti dipinti di Leonardo da Vinci, tra cui La Gioconda, l’Uomo di Vitruvio e l’Ultima Cena, sono stati realizzati a partire da alcune complesse strutture geometriche, facendo uso del numero aureo. Charles Bouleau sostenne la tesi di una grande presenza della sezione aurea in molti pittori rinascimentali, quali Giotto, Duccio e Cimabue, in un’epoca precedente alla pubblicazione  del trattato di Fra’ Luca Pacioli sulle applicazioni della sezione aurea, il De Divina Proportione. Alla fine del 1800, anche Paul Sérusier, per sua ammissione, fece uso della sezione aurea nelle sue opere e, dopo di  lui, la conoscenza della sezione aurea si diffuse a molti artisti. Anche alcuni pittori cubisti ne fecero uso, tra cui si ricordano  Gino Severini, Mario Merz, Juan Gris. Negli Stati Uniti Jay Hambidge, agli inizi del Novecento, teorizzo due tipi di arte moderna: una basata su forme geometriche e una basata sulla sezione aurea e sulla spirale logaritmica. In architettura invece una delle applicazioni più interessanti della sezione aurea si ebbe con la nascita del Modulor, ideato da Le Corbusier che volle basare le proporzioni di tutti gli spazi dedicati alla vita umana sulla sezione aurea e la successione di Fibonacci per creare un ambiente armonico e funzionale. 

Altre applicazioni

• In ambito economico, i numeri di Fibonacci sono utilizzati nell’Analisi tecnica per le previsioni dell’andamento dei titoli in borsa.
• Nell’analisi computazionale del tempo di esecuzione dell’algoritmo di Euclide, i numeri di Fibonacci sono utilizzati per determinare il massimo comune divisore di due interi: l’input del caso peggiore per questo algoritmo è una coppia di numeri di Fibonacci consecutivi.
• Nel 1844 Lamé dimostrò che l’algoritmo di Euclide, utilizzato per calcolare il massimo comune divisore tra due numeri interi, ha un ciclo più lungo se come input vi sono numeri di Fibonacci.
• In ambito cinematografico, il telefilm Touch basa parte della sua trama sulla sezione aurea e la successione di Fibonacci.