Il teorema della pizza è un teorema di geometria basato sull’equivalenza tra aree ottenute partizionando un cerchio. Il nome deriva dal fatto che questa operazione ricorda il taglio della pizza.
IN BREVE
Indice
QUAL È IL TEOREMA DELLA PIZZA?
Sia \( P \) un punto interno a un cerchio e sia \( n \) un numero intero tale che valga \( 4n +4 \,\, , n \geq 1 \), ovvero che sia un multiplo di \( 4\) e che sia maggiore o uguale a \( 8 \). Se si partiziona il disco in \( n \) settori equiangolari e si numerano progressivamente in senso orario (o antiorario) allora la somma delle aree dei settori con numero pari sarà uguale alla somma delle aree con i numeri dispari.
Quindi se dopo aver effettuato una partizione tale, partendo da un qualunque punto all’interno del cerchio, le persone si alternano prendendo una fetta di pizza a testa, ne mangeranno esattamente la stessa identica quantità.

Storia e generalizzazioni
Il problema venne proposto per la prima volta da L.J. Upton nel maggio 1968 sulla rivista Mathematical Magazine e, inizialmente, la partizione prevedeva otto settori circolari tutti di ampiezza \( 45^{\circ} \). La conferma dell’equità della partizione precedente venne proposta da Michael Goldberg che, successivamente, affermò che la soluzione poteva essere generalizzata nel caso in cui il disco si partizionasse con settori multipli di \( 4 \) e equiangolari, di cui la formulazione originale sarebbe stata una diretta conseguenza.
La condizione che \( n \) sia un multiplo di \( 4\) e che sia maggiore o uguale a \( 8 \) è necessaria, infatti è possibile dimostrare che il teorema non valga per \( n=4 \) oppure se \( n \) non è multiplo di 4 (dimostrazione effettuata da Don Coppersmith). Successivamente Rick Mabry e Paul Deiermann fornirono una nuova formulazione più precisa del teorema nel caso non sussista l’uguaglianza, ovvero:
- se il numero di settori è tale che \( n \equiv 2 \pmod{8} \) e nessun taglio passa per il centro, allora mangerà una maggiore quantità di pizza colui che non prenderà la fetta in cui cade il centro del cerchio, ovvero l’insieme di fette contenente quella in cui si trova il centro avrà area minore;
- se il numero di settori è tale che \( n \equiv 6 \pmod{8} \) e nessun taglio passa per il centro, allora mangerà una maggiore quantità di pizza colui che prenderà la fetta in cui cade il centro del cerchio, ovvero l’insieme di fette contenente quella in cui si trova il centro avrà area maggiore.
Nel caso in cui un taglio passi esattamente per il centro a prescindere dal numero di settori si ottiene una costruzione simmetrica e i due insiemi di fette avranno la stessa area. Nella stessa pubblicazione vengono inserite anche delle curiosità: se si considera la crosta come una corona circolare compresa tra la circonferenza esterna e la circonferenza di un secondo cerchio concentrico con raggio minore, nel momento in cui la pizza è divisa in parti uguali lo sarà anche la crosta. Stesso discorso vale per i condimenti, se inizialmente la distribuzione dei condimenti sulla pizza è uniforme.
Inoltre, se una pizza viene suddivisa in modo tale che rispetti le ipotesi del teorema, allora i settori possono essere raggruppati in \( \frac{n}{4} \) insiemi. Quindi, ad esempio, una pizza partizionata in \( 20 \) fette può essere equamente divisa fra \( 5 \) persone, seguendo sempre le stesse regole di suddivisione.
Teorema della pizza dimostrazione
La dimostrazione ricalca quella di Goldberg della prima versione del teorema.
Si consideri la figura sottostante e sia \( O \) il centro della circonferenza e \( r \) il suo raggio, \( AC \) e \( BD \) due corde tra loro perpendicolari e passanti per un punto comune \( P \). Sia \( a \) la distanza di \( P \) da \( O \) e \( \theta \) l’angolo tra \( PO \) e \( DP \). Si consideri che tutti i settori circolari in figura abbiano come ampiezza \( 45^{\circ} \).

Per il teorema del diametro perpendicolare ad una corda (Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondente sono divisi a metà) e per il primo teorema dei triangoli rettangoli, grazie al teorema di Pitagora è possibile scrivere:
$$ \frac{AC}{2}=\sqrt{r^2-a^2 \cdot \cos^2\theta} ; $$
$$ AP= \sqrt{r^2-a^2 \cdot cos^2\theta} \,+ a \cdot \sin \theta ;$$
$$ CP = \sqrt{r^2-a^2 \cdot cos^2\theta} \, – a \cdot \sin \theta . $$
Quindi si possono calcolare \( AP^2 \) e \( CP^2 \) utilizzando la formula del quadrato di binomio, ovvero \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \):
$$ AP^2= r^2-a^2 \cdot cos^2\theta + a^2 \cdot \sin^2 \theta \, + 2a \cdot \sin \theta \cdot \sqrt{r^2-a^2 \cdot cos^2\theta}, $$
$$ CP^2= = r^2-a^2 \cdot cos^2\theta + a^2 \cdot \sin^2 \theta \, – 2a \cdot \sin \theta \cdot \sqrt{r^2-a^2 \cdot cos^2\theta}, $$
Analogamente vale lo stesso discorso per la corda \( BD \).
$$ \frac{BD}{2}=\sqrt{r^2-a^2 \cdot \sin^2\theta} ; $$
$$ DP= \sqrt{r^2-a^2 \cdot sin^2\theta} \,+ a \cdot \cos \theta ;$$
$$ BP = \sqrt{r^2-a^2 \cdot cos^2\theta} \, – a \cdot \cos \theta . $$
Quindi si possono calcolare \( BP^2 \) e \( DP^2 \) utilizzando la formula del quadrato di binomio:
$$ DP^2= r^2-a^2 \cdot sin^2\theta + a^2 \cdot \cos^2 \theta \, + 2a \cdot \cos \theta \cdot \sqrt{r^2-a^2 \cdot sin^2\theta}, $$
$$ BP^2= r^2-a^2 \cdot sin^2\theta + a^2 \cdot \cos^2 \theta \, – 2a \cdot \cos \theta \cdot \sqrt{r^2-a^2 \cdot sin^2\theta}, $$
Procedendo nello stesso modo, alla fine è possibile calcolare la somma:
$$AP^2+CP^2+BP^2+DP^2=4 r^2, $$
che non dipende dall’angolo \( \theta \). Se ora si considera la rotazione \( d\phi \) attorno al punto \( P \), si può calcolare l’area spazzata nel seguente modo:
$$dS=\frac{1}{2} (AP^2+CP^2+BP^2+DP^2) \, d\phi, $$
Quindi \( S=\frac{4 r^2 \phi}{2}. \)
Se si pone \( \phi =\frac{\pi}{2} \), la somma S risulta essere \( S=\frac{\pi r^2}{2} \), ovvero metà area del cerchio.
Fonte
- The Proof Is in the Pizza
Mathematics Magazine - Dividing a pizza into equal parts – an easy job?
Hans Humenberger