Il respiro di Cheyne-Stokes è una forma di respiro patologico in cui un individuo alterna fasi di assenza di respiro (apnea), che possono arrivare a durare anche 20 secondi, a cicli respiratori caratterizzati inizialmente da una respirazione profonda e poi da respiri frequenti e di breve durata. Dal punto di vista matematico questa patologia può essere descritta tramite un’equazione differenziale con ritardo.
IN BREVE
Indice
RESPIRO DI CHEYNE-STOKES: PATOLOGIA
Il respiro di Cheyne-Stokes, chiamato anche respiro periodico, è caratterizzato da due fasi: una di apnea, ovvero di assenza di respiro che porta a un aumento di \(CO_2\) e una di iperpnea, ovvero un aumento del volume d’aria in ingresso nei polmoni ad ogni respiro e quindi un’eccessiva iperventilazione compensatoria che causa una diminuzione di \(CO_2\); queste fasi si ripetono e ogni ciclo ha una durata compresa tra 30 secondi e 2 minuti. L’apnea non dipende dall’ostruzione delle vie respiratorie, ma, in questo caso, viene meno l’impulso che regola il respiro. Il respiro di Cheyne-Stokes può verificarsi durante il sonno o, nei casi più gravi, anche durante la veglia. Questo disturbo si manifesta a maggior frequenza negli anziani e in alcune patologie, per lo più a carico del cuore, ma anche malattie respiratorie, insufficienza renale, avvelenamento da narcotici e ipnotici, disturbi neurologici e aumento della pressione intracranica. Questa anomalia prende il nome da due medici che la descrissero per la pima volta nel XIX secolo, John Cheyne e William Stokes.

MODELLO MATEMATICO
In natura, la reazione di molti sistemi agli stimoli esterni non è immediata ma avviene con un certo ritardo. Per modellizzare queste situazioni, come il respiro di Cheyne-Stokes, si utilizzano le equazioni differenziali con ritardo. In generale un’equazione differenziale con ritardo è un problema della forma
$$ y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ)) \mbox{ se }t_0<t≤T $$
$$ y(t)=ϕ(t) \mbox{ se } t≤t_0$$
Dove \( τ=τ(t,y(t))\), che di solito è una funzione, è detto ritardo, mentre \(y(t)\) è la funzione incognita, nel nostro caso indica il livello di \(CO_2\) nelle arterie che viene rilevato dai ricettori del cervello e quindi è associato al livello di ventilazione polmonare.
Descrizione del modello
Il livello di ventilazione polmonare dipende dalla concentrazione di \(CO_2\) secondo la seguente equazione di Hill:
$$ V(t) = V_M \frac{y^m(t)}{a^m+y^m(t)} := V_M W[y(t)] $$
dove \( V_M \) è il livello di ventilazione massimo e \( a, m \) sono coefficienti ottenuti sperimentalmente. Ora si può introdurre il ritardo \( T \) che rappresenta l’assenza di chemorecettori, la cui attivazione consente di regolare la pressione parziale dell’ossigeno e quella dell’anidride carbonica del sangue arterioso, quindi possiamo scrivere:
$$ V(t) = V_M \frac{y^m(t-T)}{a^m+y^m(t-T)} = V_M W[y(t-T)]$$
La rimozione \(R(t) \) di \(CO_2\) dal sangue sarà proporzionale al livello di \(CO_2\) e alla ventilazione:
$$ R(t) = k V(t) y(t) $$
dove \(k\) è una costante sperimentale. Se si suppone che il corpo produce \(CO_2\) ad un ritmo costante, chiamato \(P\), il livello di \(CO_2\) nel sangue sarà descritto da:
$$ \frac{dy}{dt} = P – R(t) = P – k V(t) y(t) = P – k V_M y(t) W[y(t-T)]$$
Tramite un riscalamento di variabili (\( y=ax \) e \( p=qa \)), per passare ad unità adimensionali, si ottiene:
$$ \frac{dx}{dt} = K (Q – x(t) w[x(t-T)]) $$
dove \( x(t) \) indica il livello di \( CO_2 \), \( w(x) = \frac{x^m}{1+x^m} \) il livello di ventilazione e \( K\) e \( Q\) costanti (\( K = k V_M \) e \( q = KQ \)).
Stato di equilibrio del modello
\( x(t) \) presenta un punto di equilibrio \( \bar{x}\) che può essere ottenuto uguagliando a zero \( \frac{dx}{dt} \); a questo punto \( \bar{x} = costante \) corrisponde un livello di ventilazione:
$$ \bar{w} = w(\bar{x}) = \frac{\bar{x}^m}{1+\bar{x}^m} $$
Dall’equazione del precedente paragrafo, sostituendo, si ottiene:
$$ Q = \frac{\bar{x}^{m+1}}{1+\bar{x}^m} = \bar{x} \bar{w}$$
quindi, \( \bar{w} = \frac{Q}{\bar{x}} \). Calcolando la derivata prima di \( w(x) \), per studiare la crescenza e la decrescenza del livello di ventilazione, si ottiene:
$$ w’(x) = \frac{mx^{m-1}}{(x^m+1)^2} > 0$$
Poiché è sempre positiva, significa che il livello di ventilazione è sempre crescente al crescere del livello di \( CO_2 \), d’altra parte \( Q/x \) è decrescente all’aumentare di \( x \), quindi esiste sempre una sola soluzione accettabile \( \bar{x} > 0 \). Ora l’obiettivo è capire se questo punto di equilibrio sia stabile o instabile. Per capirlo si scrive \( x(t) = \bar{x} + \epsilon u(t) \) e si sostituisce nell’equazione del paragrafo precedente. Dopo alcuni passaggi matematici, e lo sviluppo della funzione \( w(x) \) con Taylor, si ottiene:
$$ \frac{du}{dt} = – \alpha u(t) – \beta u(t-T) $$
Dove \(\alpha = K \bar{w}\) e \(\beta = K \bar{x} \bar{w}’\) sono costanti reali positive.

Soluzioni di equazioni differenziali con ritardo
L’obiettivo è studiare l’equazione differenziale
$$ \frac{du}{dt} = – \alpha u(t) – \beta u(t-T) $$
Con un metodo che si applica in generale alle equazioni differenziali con ritardo. Si può considerare il ritardo come un parametro, \(\vartheta \) e non più con \( T \), in linea di principio variabile. In assenza di ritardo, la soluzione di una equazione differenziale del primo ordine è dato da
$$ u(t) = u_0 e^{\lambda t} $$
di conseguenza:
$$ u(t-\vartheta)= u_0 e^{\lambda (t-\vartheta)} =e^{-\lambda \vartheta}u(t) $$
Sostituendo nella equazione differenziale iniziale si ottiene:
$$ \lambda u(t) = -\alpha u(t) -\beta e^{-\lambda \vartheta} u(t) $$
da cui \( \lambda = -\alpha -\beta e^{-\lambda \vartheta} \). Se tutte le soluzioni di questa equazione per \( \lambda =\mu + i\omega \) hanno parte reale (\( \mu \)) negativa, allora la soluzione stazionaria è stabile, se invece la parte reale diventa positiva, si ottiene una soluzione instabile. Essendo questa equazione trascendente, non è possibile trovare una soluzione mediante una formula chiusa, ma tramite alcuni osservazioni matematiche si può dire che se \( \alpha > \beta \) la soluzione \( \bar{x} \) è stabile, \( \alpha < \beta \), la soluzione può diventare instabile. Inoltre, all’aumentare del ritardo oltre la soglia critica (\( 1/\beta \)) la soluzione stazionaria perde stabilità e si forma una nuova soluzione stabile, non più stazionaria, ma periodica.
Applicazione alla sindrome di Cheyne e Stokes
Se si applicano i risultati ottenuti al modello della ventilazione e più in particolare all’equazione differenziale con ritardo:
$$ \frac{du}{dt} = – \alpha u(t) – \beta u(t-T) $$
Poiché \( \bar{x} \) è soluzione di \( \bar{x} w(\bar{x}) = Q \), si può scrivere \( \beta = KQ\bar{w}’/\bar{w} \). In questo modo la condizione di instabilità diventa:
$$ \vartheta > \frac{1}{KQ} \frac{\bar{w}}{\bar{w}’} $$
Dove \( \vartheta \) è il ritardo, oppure
$$ \bar{w}’ > \frac{1}{KQ \vartheta} \bar{w} $$
Dunque si ha instabilità quando la ventilazione reagisce troppo bruscamente a variazioni del livello di \( CO_2 \) rispetto alla situazione di equilibrio. Inoltre un ritardo, superiore al valore di soglia ottenuto, provoca l’instabilità del sistema e quindi l’insorgere del respiro di Cheyne-Stokes nel paziente.

Fonte
- La sindrome respiratoria di Cheyne e Stokes
Modelli matematici in biologia