Ipotesi di Riemann: un problema irrisolto

DESCRIZIONE DELL’IPOTESI DI RIEMANN

L’ipotesi di Riemann venne formulata per la prima volta da Bernhard Riemann nel 1859 ed è considerata il più importante problema aperto della matematica. La congettura rientra anche nei ventitré problemi di Hilbert e nei sette problemi del millennio, per la cui risoluzione è stato messo in palio un milione di dollari dall’Istituto matematico Clay. Fondamentale per la formulazione dell’ipotesi di Riemann è la funzione zeta, un funzione che riveste un’importanza fondamentale nella teoria dei numeri.

La funzione zeta

L’ipotesi di Riemann riguarda la funzione zeta di Riemann \( \zeta \), estensione della funzione zeta di Eulero. La funzione zeta di Eulero, per valori maggiori di 1 risulta essere:
$$ \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}=1+\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}+\cdots $$
con \( n \) numero naturale. Questa serie, per \( x>1\) è convergente ed Eulero fornì diversi risultati numerici, ad esempio \( \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} \), risolvendo il celebre problema di Basilea. Eulero trovò un’ulteriore formulazione della funzione zeta, nella quale erano coinvolti i numeri primi:
$$ \zeta(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}=\prod_{p } \frac{1}{1-p^{-x}} $$
dove \( p \) è un numero primo. Riemann estese questa funzione in modo che potesse comprendere non solo i numeri interi, ma anche i numeri complessi. Per prima cosa, definì la funzione zeta per i numeri complessi con parte reale maggiore di 1 \( (Re(s)>1) \) sfruttando la produttoria trovata da Eulero:
$$ \zeta(s) =\prod_{p \ primo} \frac{1}{1-p^{-s}} $$
dove, a differenza di prima, \( s \) è un numero complesso. Successivamente Riemann la estese all’intero piano complesso e cominciò a studiarne gli zeri, ovvero i punti in cui la funzione si annulla: \( \zeta(s)=0 \). Trovò l’esistenza di un’infinità di zeri corrispondenti a tutti i numeri pari negativi e li chiamò zeri banali; successivamente scoprì l’esistenza di infiniti zeri, tutti con parte reale compresa tra 0 e 1 \( 0<Re(s)<1 \) che si trovano in una regione di piano chiamata zona critica. Riemann ipotizzò che tutti questi zeri, chiamati zeri non banali, si trovino esattamente a metà della regione critica, ovvero che abbiano tutti parte reale pari a \( \frac{1}{2} \). L’ipotesi di Riemann è lontana dall’essere dimostrata e non è ancora noto se esista un \( \epsilon >0\) tale che tutti gli zeri \( \sigma+it \) di \( \zeta \) siano \( \sigma<1-\epsilon \) (l’ipotesi di Riemann corrisponde a \( \epsilon=\frac{1}{2} \)). Nel 1899 de la Vallée Poussin ha provato che gli zeri della funzione di Riemann soddisfano la disequazione:
$$ \sigma < 1-\frac{C}{\log(|t|+2)}, $$
dove \( C \) è una costante positiva. Successivamente questo risultato è stato migliorato nel corso degli anni grazie a John Edensor Littlewood, Nikolai Chudakov, Nikolai Mikhailovich Korobov e Ivan Matveevič Vinogradov; in particolare quest’ultimo nel 1958 dimostrò che
$$ \sigma < 1-\frac{C}{(\log(|t|)^\frac{2}{3}(\log\log(|t|)^\frac{1}{3}}, $$ per \( t>3 \) e per \( C>0 \).

Proprietà della funzione zeta di Riemann: formula del prodotto di Eulero

Una proprietà fondamentale della funzione zeta di Riemann è la formula prodotto di Eulero, nella quale sono coinvolti i numeri primi:
$$ \zeta(s) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\prod_{p \ primo} \frac{1}{1-p^{-s}} $$
dove \( \zeta(s) \) è la funzione zeta di Riemann e \( p \) è un numero primo. Questa formulazione mettere in relazione una serie in cui compaiono i numeri naturali con una produttoria in cui compaiono numeri primi; inoltre fa da collegamento tra la funzione zeta di Riemann e i numeri primi che compaiono nella sua ipotesi. La dimostrazione di questa formula parte dalla definizione della funzione zeta
$$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots.$$
Se si moltiplicano entrambi i membri per \( \frac{1}{2^s} \), si ottiene
$$ \frac{1}{2^s} \zeta(s)= \frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\cdots.$$
Sottraendo le due espressioni si ottiene una serie in cui non appaiono numeri pari:
$$\biggl(1- \frac{1}{2^s} \biggr)\zeta(s)= 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\cdots, $$
moltiplicando il primo termine del membro di sinistra (escluso l’uno) si ha:
$$ \frac{1}{3^s}\biggl(1- \frac{1}{2^s} \biggr)\zeta(s)= 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\cdots. $$
A questo punto se si sottrae questa ultima espressione alla penultima ottenuta, si ottiene una serie in cui non compaiono i multipli di due e di tre:
$$\biggl(1- \frac{1}{3^s} \biggr)\biggl(1- \frac{1}{2^s} \biggr)\zeta(s)= 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\cdots. $$
Se si procede in questo modo, si eliminano i multipli dei numeri rimasti, tranne i numeri primi fino ad ottenere:
$$ \cdots \biggl(1- \frac{1}{11^s} \biggr)\biggl(1- \frac{1}{7^s} \biggr) \biggl(1- \frac{1}{5^s} \biggr) \biggl(1- \frac{1}{3^s} \biggr) \biggl(1- \frac{1}{2^s} \biggr) \zeta(s) = 1, $$
quindi:
$$ \zeta(s) = \frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\frac{1}{1-\frac{1}{3^s}}\frac{1}{1-\frac{1}{5^s}}\frac{1}{1-\frac{1}{7^s}} \cdots = \prod_{p}\frac{1}{1-p^s}. $$
Tramite questa dimostrazione Eulero dimostrò l’infinità dei numeri primi; infatti per \( s=1 \)
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-1}},$$
poiché il membro di sinistra è la serie armonica, che diverge, anche il secondo membro deve per forza divergere e questo accade solo se i suoi termini sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

TENTATIVI DI DIMOSTRAZIONE DELL’IPOTESI DI RIEMANN

Per cercare di fornire la dimostrazione dell’ipotesi di Riemann si sono aperte due strade: cercare di ottenere una dimostrazione matematica rigorosa oppure cercare di calcolare sempre più zeri per trovarne uno che eventualmente contraddica l’ipotesi. Il miglior risultato ottenuto nel primo caso è stato quello di Hardy, che riuscì a dimostrare che sulla retta critica vi sono infiniti zeri. Per quanto riguarda il secondo approccio, ad oggi sono stati verificati miliardi di zeri, i quali soddisfano l’ipotesi ed è stato dimostrato che qualora esistessero zeri al di fuori della retta critica, sarebbero di ordini di grandezza molto più grandi della potenza di calcolo attuale. Nel corso degli anni molti matematici hanno provato a fornire una dimostrazione della congettura. Nel 1992, Louis de Branges de Bourcia propose una dimostrazione dell’ipotesi di Riemann basata sull’analisi funzionale, ma molti teorici dei numeri rimasero scettici e circa otto anni dopo Brian Conrey e Xian-Jin Li fornirono dei controesempi che evidenziavano che la dimostrazione non fosse corretta.

Conseguenze

Esiste un legame tra l’ipotesi di Riemann e la distribuzione dei numeri primi: gli zeri della funzione zeta sono le frequenze che determinano la funzione sinusoidale che esprime l’errore commesso nell’approssimare la quantità di numeri primi contenuti in un determinato intervallo con la funzione di Gauss
$$ \pi(x) \approx \frac{x}{ln(x)}.$$
Per questo motivo viene detto che la funzione di Riemann esprime la “musica dei primi”. La dimostrazione dell’ipotesi di Riemann permetterebbe di aprire nuovi studi sulla distribuzione dei numeri primi: se fosse verificata tutti gli zeri avrebbero lo stesso peso nell’influenzare l’errore di approssimazione del vero valore di \( \pi(x) \). Avrebbe anche delle importanti conseguenze nell’ambito della sicurezza informatica e della crittografia: la crittografia usa come chiavi numeri interi la cui fattorizzazione in primi non sia calcolabile in tempi accettabili, quindi l’eventuale conoscenza della distribuzione della sequenza permetterebbe di facilitare la fattorizzazione e questo renderebbe necessario il ricorso a nuove tecniche di sicurezza. Nel caso in cui la congettura non fosse verificata, i numeri primi sarebbero disposti in maniera molto più casuale e difficilmente prevedibile.