Paradosso di Monty Hall: una scelta ragionata

Una scienza controintuitiva: cosa si intende

Il calcolo della probabilità è una delle scienze matematiche più curiose e diffuse che esistano. È bene però tenere in mente una cosa: la statistica e la probabilità sono scienze molto controintuitive. Il nostro cervello, infatti, tende a ragionare secondo intuizioni e non secondo il pensiero matematico; frequentemente assegniamo una certa probabilità ad un dato evento che nella realtà è estremamente diversa. Esiste una vasta letteratura al riguardo, che descrive in maniera dettagliata il tema dei bias cognitivi, ovvero i  giudizi personali che non corrispondono alla realtà (uno su tutti “Pensieri lenti e veloci” dello psicologo e Nobel per l’economia Daniel Kahneman).

Il paradosso di Monty Hall, spiegazione delle scelte

Vediamo ora in cosa consiste effettivamente questo paradosso. Maurice Halprin, conosciuto con lo pseudonimo di Monty Hall, appunto, è stato un presentatore televisivo americano che ha condotto sulla nbc (una famosa azienda radiotelevisiva statunitense) il gioco a premi “Let’s make a deal“. Il gioco consisteva in questo: il concorrente si trova di fronte a tre porte chiuse, dietro una porta c’è una macchina, dietro le altre due c’è una capra . L’obiettivo del gioco è chiaramente cercare di vincere l’auto, aprendo la porta corrispondente. Come prima cosa il conduttore chiedeva di scegliere una delle tre porte, di conseguenza delle due rimanenti apriva quella con dietro una delle due capre. Ora arriva il “deal”, ovvero l’affare: Monty proponeva al concorrente di cambiare la scelta che aveva fatto inizialmente, andando dunque sull’unica porta rimanente. A primo impatto, si direbbe che cambiare o meno la scelta iniziale non cambi in nessun modo le probabilità di vincere, che sembrerebbero essere del 50% (ho due porte di cui una vincente ed una perdente). In realtà, invece, la probabilità di vincere cambia a seconda della mia scelta di cambiare porta o restare! Ma com’è possibile?

Una spiegazione logica

All’inizio, quando il conduttore ci chiede di scegliere una porta sulle 3 disponibili abbiamo il 33,3% di probabilità di vincere ed il 66,6% di perdere, essendoci due capre ed una sola macchina. Dopodiché viene aperta una porta con dietro una capra e ci troviamo davanti alla fatidica scelta: cambiare o restare? Il trucco è capire che la probabilità di vittoria dipende anche dalla mia scelta iniziale, che può avere 3 esiti:

• ESITO 1 = scelgo la porta con dietro la macchina,
• ESITO 2 = scelgo la porta con dietro la capra,
• ESITO 3 = scelgo la porta con dietro la capra.

Tutti e tre gli esiti hanno la stessa identica probabilità di verificarsi (1/3 o 33.33333%).

Ora vediamo cosa succede con la seconda scelta di cambiare porta o restare: ricordiamo che dopo la mia prima scelta è stata aperta una porta con dietro una capra. Quindi mi trovo come davanti ad un bivio: due porte chiuse di cui solo una vincente (quella con dietro la macchina).

• ESITO 1: all’inizio ho avuto la fortuna di trovare subito la macchina. Ma se alla seconda scelta cambio ho perso, perché scelgo la porta con dietro la capra.
• ESITO 2: all’inizio ho trovato una capra. Se alla seconda scelta cambio vinco, perché scelgo la porta con dietro la macchina.

analogamente

• ESITO 3: all’inizio ho trovato una capra. Se alla seconda scelta cambio vinco, perché scelgo la porta con dietro la macchina.

Alla fine notiamo che se cambio vinco 2 volte e perdo solo una volta, quindi ho una probabilità di 2/3 (66.66%) di vittoria. Viceversa si può facilmente dimostrare che se invece resto sulla porta scelta inizialmente perdo 2 volte e vinco una volta solo, quindi la probabilità di vittoria scende a 1/3 (33.33%).

Il teorema di Bayes ci viene in aiuto

Il  teorema di Bayes è uno dei teoremi più importanti del calcolo della probabilità. Mette in collegamento infatti la probabilità di un evento con la probabilità dello stesso evento ma con informazioni aggiuntive. Ecco la formula:

\(\)\[ P(A|B)= \frac{P(B|A)⋅P(A)}{P(B)} \]\(\)

dove A e B sono due eventi qualsiasi, P(E) si legge “probabilità dell’evento E” ed è semplicemente la funzione che assegna una certa probabilità ad un certo evento. La dicitura P(A|B) si legge invece “probabilità di A dato B,” ovvero probabilità che accada l’evento A sapendo che si è verificato l’evento B. Chiamiamo per semplicità le tre porte P1, P2, P3,  M1, M2, M3 sono gli eventi “c’è una macchina dietro le porte 1, 2 e 3” e C1, C2, C3 sono gli eventi “c’è una capra dietro le porte 1, 2, 3”. Supponiamo che la scelta iniziale sia la prima porta e che il conduttore apra la terza.  Applicando il teorema di Bayes troviamo che:

\(\)\[ P(M2|C3)=P(C3|M2)⋅\frac{P(M2)}{P(C3)} \]\(\)

dove P(M2|C3) è la probabilità che la macchina sia sulla porta 2 sapendo che dietro alla  terza porta c’è una capra. Ora calcoliamo i valori. P(C3|M2)=1 perchè siamo già sicuri che sulla terza porta c’è una capra, P(M2)=1/3 perchè inizialmente c’era solo una macchina su 3 porte, mentre P(C3)=1/2. Questo ultimo risultato risponde in realtà alla domanda “qual è la probabilità che dietro alla terza porta ci sia una capra sapendo che il conduttore deve scegliere tra le due porte non scelte dal concorrente?”. Risulta quindi che

\(\)\[P(M2|C3)=\frac{1⋅\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}=66.666\%\]\(\)

Quindi, esattamente come per la spiegazione precedente, il giocatore cambiando porta ha il 66.666% di probabilità di vincere. Chiaramente la  probabilità di vittoria restando sulla prima porta è 100%-66.666%=33.333%.

Bias cognitivi: un altro esempio

Come già detto nell’introduzione, questo semplice indovinello che può sembrare qualcosa di bambinesco, appartiene alla famiglia di esercizi e giochetti utili per comprendere come funziona la mente umana di fronte a delle scelte. Il nostro cervello infatti spesso tende a darsi un’idea di un evento tenendo conto delle nostre sensazioni personali o ricordi, non tenendo conto della logica o della matematica. Come è prevedibile, il risultato è spesso deludente.

Un esempio di queste distorsioni è un quiz che si chiama “how well do you know your area?”, cioè “quanto bene conosci la tua zona?”. Veniva sottoposto ad un campione di persone di una certa città o area e conteneva delle domande (apparentemente) semplici riguardo la suddetta zona: su 100 persone quanti sono gli anziani presenti? Quanti i giardinieri? Quanti i laureati? Come prevedibile, nonostante le persone sottoposte al quiz conoscessero alla perfezione la propria zona, le risposte erano estremamente lontane dalla realtà. Essi rimasero molto stupiti davanti all’abissale differenza tra la realtà e le loro convinzioni personali.

Monty Hall: una piccola curiosità

Questo famosissimo gioco viene citato anche nel film “21” di Robert Luketic, una pellicola sulla matematica e sul calcolo della probabilità. In una famosa scena  il docente di matematica Mickey Rosa (intepretato da Kevin Spacey) lo sottopone ad un suo studente, il quale lo risolve dettagliatamente sfruttando un metodo avanzato di probabilità, ovvero il metodo del cambio di variabile. E se ancora rimanete scettici… provateci! Usate 3 bicchieri anzichè 3 porte, una moneta e due tappi di bottiglia per simulare i premi. Più sarà alto il vostro numero di tentativi, più il risultato empirico che otterrete sarà fedele a quello teorico. O altrimenti, se siete più ferrati con l’informatica, provate a programmare un semplice algoritmo che simuli quest gioco. Basteranno pochi minuti per avere milioni di replicazioni, con il risultato che sarà parecchio vicino a quello giusto più aumenta il numero di prove.