Paradosso dei gemelli: scienza e senso comune

PARADOSSO DEI GEMELLI

Il paradosso dei gemelli pone l’attenzione sulla relatività del tempo che, a seguito della formulazione della teoria della relatività ristretta da parte di Albert Einstein nel 1905, insieme alla lunghezza, non sono più considerate grandezze fisiche assolute, come nella concezione newtoniana della fisica classica; infatti mentre nella fisica classica queste due grandezze erano assolute indipendentemente dal sistema di riferimento considerato, nella teoria della relatività non è più così.

Teoria della relatività ristretta

La teoria della relatività, utilizzata per descrivere eventi che avvengono a velocità prossime a quella della luce (\( 300000 \,\, \frac{km}{s} \)) e ad alte energie, si basa su due postulati:

• Le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ovvero i sistemi in cui trova validità il primo principio della dinamica;
• La velocità della luce è costante e pari a \( c=300000 \,\, \frac{km}{s} \).

Due sistemi di riferimento sono inerziali tra di loro se si muovono di moto rettilineo uniforme reciprocamente, ovvero non ci sono accelerazioni, come ad esempio con buona approssimazione il movimento della Terra rispetto ad un osservatore solidale con essa. La teoria della relatività ristretta può applicarsi solamente nei sistemi di riferimento inerziali e risulta essere un’estensione della meccanica classica. I due postulati portano a non considerare le grandezze temporali e spaziali come assolute, ma si assiste a velocità prossime quella della luce a due fenomeni particolari: la contrazione delle lunghezze e la dilatazione degli intervalli temporali. Nell’ambito della teoria della relatività per passare da un sistema di riferimento ad un altro vengono utilizzate le trasformazioni di Lorentz che sono un ampliamento delle trasformazioni di Galileo per basse velocità. Con queste trasformazioni si può notare che un corpo di lunghezza \( L \), ad alte velocità subirà una contrazione nella direzione del moto pari a:
$$ L’=\sqrt{1-\biggr(\frac{v}{c}\biggl)^2} \cdot L, $$
dove \( L’ \) è la lunghezza misurata, \( L \) la lunghezza propria del corpo, \( v \) la velocità del corpo e \( c \) la velocità della luce. Si può notare come la grandezza \( \frac{v}{c} \) sia minore di \( 1 \), in quanto \( v < c \) e quindi \( L'<L \), ma nel caso in cui \( v <<< c \) tende a \( 0 \) e quindi \( L’ = L \), ovvero ci si riconduce al caso della fisica classica. A velocità prossime a quella della luce avviene anche il fenomeno di dilatazione dei tempi, che risulta essere pari a:
$$ \Delta t’=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, $$
dove \( \Delta t’ \) è il tempo misurato, \( \Delta t \) il tempo proprio, \( v \) la velocità del corpo e \( c \) la velocità della luce. Si può notare come la grandezza \( \frac{v}{c} \) sia minore di \( 1 \), in quanto \( v < c \) e quindi \( \Delta t’ > \Delta t \) ma, nel caso in cui \( v <<< c \) tende a \( 0 \) e quindi \( \Delta t’ = \Delta t \), ovvero ci si riconduce al caso della fisica classica.

Il paradosso

Il concetto di relatività del tempo e dello spazio ha come conseguenze situazioni difficilmente spiegabili dal senso comune, come ad esempio il paradosso dei gemelli. Si considerino due gemelli di \(30 \) anni, Andrea e Bruno; Andrea decide di partire su un’astronave e di intraprendere un viaggio nello spazio per raggiungere un corpo celeste situato a \( 5 \mbox{ anni luce} \) dalla Terra con una velocità molto elevata \( (250 000 \,\,\, \frac{km}{s}) \), prossima a quella della luce, mentre Bruno decide di rimanere sulla Terra. Andrea vedrà il proprio orologio, solidale con lui, scorrere normalmente, mentre Bruno vedrà l’orologio di Andrea scorrere più lentamente, poiché Andrea sta viaggiando su un’astronave che si muove ad una velocità prossima a quella della luce e quindi si assiste al fenomeno della dilatazione del tempo e della contrazione delle lunghezze; quindi, quando Andrea rientrerà sulla Terra, Bruno lo vedrà più giovane rispetto a lui, in quanto il tempo per Andrea è passato più lentamente. In particolare, sulla Terra il tempo ha continuato a scorrere normalmente e quindi il viaggio Andrea ha avuto una durata di:
$$t= \frac{5 \cdot 9,461 \cdot 10^{15} \,\, m}{250000000 \,\, m/s }=1,9 \cdot 10^8 \,\, s,$$
ovvero \( 6 \) anni, quindi considerando andata e ritorno sono \( 12 \) anni. Durante il viaggio però il tempo per Andrea è trascorso più lentamente, quindi, al suo ritorno sulla Terra per lui saranno passati:
$$ t_A=t_B \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=12 \mbox{ anni } \cdot \sqrt{1-\frac{250000^2 \frac{km^2 }{s^2 }}{300000^2\frac{km^2 }{s^2 }}}=6,63 \mbox{ anni}. $$
Quindi mentre per Bruno sono trascorsi \( 12 \) anni e quindi avrà \( 42 \) anni, per Andrea ne sono trascorsi \( 6,63 \) e quindi al suo ritorno avrà \( 36,6 \) anni.
Per entrambi il tempo ha continuato a scorrere normalmente ma a velocità diverse. Allo stesso tempo però, considerando il sistema di riferimento dell’astronave (dove l’astronave è ferma ed è la Terra a muoversi), Andrea vedrà Bruno allontanarsi da sé con una velocità pari a quella della navicella spaziale ma in verso opposto e quindi vedrebbe l’orologio di Bruno scorrere più lentamente rispetto al suo, quindi al rientro di Andrea sulla Terra, vedrebbe Bruno più giovane di lui. In particolare, Andrea resta nello spazio per \( 6,63 \) anni prima di tornare sulla Terra e poiché la Terra si è mossa, nel sistema di riferimento di Andrea, di \( (250 000 \,\,\, \frac{km}{s}) \), sulla Terra dovrebbero essere passati:
$$ t_B=t_A \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=6,63 \mbox{ anni } \cdot \sqrt{1-\frac{250000^2 \frac{km^2 }{s^2 }}{300000^2\frac{km^2 }{s^2 }}}=3,67 \mbox{ anni}. $$
Quindi mentre per Andrea sono trascorsi \( 6,63 \) anni e quindi avrà \( 36,6 \) anni, per Bruno ne sono trascorsi \( 3,67 \) e quindi al ritorno di Andrea ne avrà \( 33,7 \).
Da qui la formulazione del paradosso dei gemelli, che vede due situazioni differenti per lo stesso problema che quindi apparentemente non ha soluzione; tuttavia una delle due situazioni non è corretta.

Risoluzione del paradosso

Il problema del paradosso dei gemelli non è simmetrico: Bruno, che si trova in un sistema di riferimento inerziale, essendo solidale con la Terra, vede Andrea allontanarsi sulla navicella e lo vede muoversi ad una velocità molto alta, prossima a quella della luce; d’altro canto Andrea invece, non si trova in un sistema di riferimento inerziale perché per allontanarsi dalla Terra e per tornare sulla Terra ha subito una variazione della velocità, ovvero un’accelerazione. Quindi, non è possibile applicare la relatività ristretta ad Andrea, in quanto non si ha a che fare con un sistema di riferimento inerziale (infatti esistono delle accelerazioni) e al suo ritorno sulla Terra, Andrea sarà più giovane di Bruno. All’astronave andrebbe applicata la teoria della relatività generale, teoria che estende la teoria della relatività ristretta ai sistemi non inerziali. Inoltre Andrea nel viaggio di andata e di ritorno vedrà il tempo sulla Terra scorrere in modo diverso (effetto doppler relativistico): nella fase di andata, poiché si allontana dalla Terra, vede scorrere il tempo più lentamente e quando raggiunge la sua meta, prima di invertire la marcia, vede una data nel passato sulla Terra rispetto alla sua; al contrario, nella fase di ritorno, poiché va incontro alla luce proveniente dalla Terra, vede scorrere il tempo più velocemente e vedrebbe una data sulla Terra futura rispetto alla sua.